0 Worum geht es?

Die Abbildung 1 zeigt ein regelmäßiges Zehneck, das von außen mit zehn regelmäßigen Fünfecken eingemauert ist.

Abb. 1: Eingemauertes Zehneck

Kann ein regelmäßiges Vieleck von innen her mit regelmäßigen Vielecken abgedichtet werden?

1 Die triviale Lösung

Jedes regelmäßige Vieleck kann mit sich selber von innen her abgedichtet werden.

2 Nichttriviale Lösung

An jeder Ecke des Vieleckes kommen zwei Dichtungsvielecke zusammen. Deren Innenwinkel ist halb so groß wie der Innenwinkel des gegebenen Vieleckes und damit kleiner als 90°. Als Dichtungsvielecke kommen daher nur gleichseitige Dreiecke in Frage. Dann hat das gegebene Vieleck Innenwinkel 120°. Es muss ein regelmäßiges Sechseck sein (Abb. 2).

Abb. 2: Die einzige nichttriviale Lösung

3 Etwas Rechnung

Wir wollen auch rechnerisch zeigen, dass das Sechseck die einzige Lösung ist.

Dazu wollen wir ein regelmäßiges n-Eck abdichten. Es hat den Innenwinkel a :

(1)

Somit hat das Dichtungsvieleck den Innenwinkel b :

(2)

Für den Außenwinkel g und damit den Zentriwinkel des Dichtungsvielecks ergibt sich:

(3)

Daraus ergibt sich für die Eckenzahl e_n des Dichtungsvieleckes:

(4)

Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte für e_n.

n	e	e	n	e	e
3	12/5	2.4	22	11/3	3.666666667
4	8/3	2.666666667	23	92/25	3.68
5	20/7	2.857142857	24	48/13	3.692307692
6	3	3	25	100/27	3.703703704
7	28/9	3.111111111	26	26/7	3.714285714
8	16/5	3.2	27	108/29	3.724137931
9	36/11	3.272727273	28	56/15	3.733333333
10	10/3	3.333333333	29	116/31	3.741935484
11	44/13	3.384615385	30	15/4	3.75
12	24/7	3.428571429	31	124/33	3.757575758
13	52/15	3.466666667	32	64/17	3.764705882
14	7/2	3.5	33	132/35	3.771428571
15	60/17	3.529411765	34	34/9	3.777777778
16	32/9	3.555555556	35	140/37	3.783783784
17	68/19	3.578947368	36	72/19	3.789473684
18	18/5	3.6	37	148/39	3.794871795
19	76/21	3.619047619	38	19/5	3.8
20	40/11	3.636363636	39	156/41	3.804878049
21	84/23	3.652173913	40	80/21	3.809523810

Tab. 1: Eckenzahlen der Abdichtungsvielecke

Für n = 6 ergibt sich der schon gefundene Wert e₆ = 3

Die Folge e_n ist monoton wachsend mit dem Grenzwert 4. Daher gibt es keine weiteren ganzzahligen Lösungen für das Verpackungsvieleck mehr. Zwischen e₆ = 3 und dem Grenzwert 4 gibt es keine weiteren ganzen Zahlen. Basta

4 Sterne

In der zweiten Spalte der Tabelle 1 ist e_n als gekürzter Bruch angegeben. Zum Beispiel ist e₃ = 12/5. Wir können diesen Bruch als Stern interpretieren. Auf einem Kreis werden 12 Punkte regelmäßig verteilt. Wir starten in einem Punkt und gehen weiter zum fünften Punkt. Und so weiter jeweils zum fünftnächsten Punkt. So entsteht ein Stern (Abb. 3).