Hans Walser, [20240422]

Verscherter Kreis

1 Worum es geht

Die Verscherung eines Kreises um 45° führt zu einer Ellipse mit vielen Bezügen zum Goldenen Schnitt.

2 Konstruktion

In einem quadratischen Einheitsraster zeichnen wir den Einheitskreis (Abb. 1). Der Einheitskreis hat die implizite Gleichung:

x² + y² = 1

Abb. 1: Einheitskreis

Wir verscheren die Figur um 45° (Abb. 2). Die Bildfigur des Kreises ist eine Ellipse.

Abb. 2: Scherenbild

Die Abbildung 3 zeigt den Prozess der Verscherung.

Abb. 3: Verscherung

Man sieht das gerne irrtümlicherweise räumlich, als im Raum verdrehten Kreis.

Sobald der Ausgangskreis mit dargestellt wird, sehen wir die Verscherung (Abb. 4).

Abb. 4: Verscherung

Die Ellipse verläuft durch vier Rasterpunkte. Einen fünften Ellipsenpunkt finden wir gemäß Abbildung 5:

Abb. 5: Fünfter Ellipsenpunkt

Damit ist die Ellipse bestimmt. Sie hat die implizite Gleichung:

x² + 2xy + 2y² = 1

3 Der Goldene Schnitt

Mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 bezeichnen wir den Goldenen Schnitt.

3.1 Ellipsenachsen

Die lange Halbachse der Ellipse hat die Länge Φ und die Steigung –1/Φ (Abb. 6).

Die kurze Halbachse der Ellipse hat die Länge 1/Φ und die Steigung Φ.

Abb. 6: Ellipsenachsen

3.2 Goldenes Rechteck

Die vier Schnittpunkte des Kreises mit der Ellipse bilden ein Goldenes Rechteck (Seitenverhältnis Φ:1) (Abb. 6).

Abb. 6: Goldenes Rechteck

Weblinks

Hans Walser: Miniauren: Goldener Schnitt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0