1 Erinnerung: Kantenmittenviereck

Das Kantenmittenviereck eines beliebigen Vierecks ist ein Parallelogramm (Satz von Varignon). Umgekehrt gibt es zu einem gegebenen Parallelogramm unendlich viele passende Umvierecke.

2 Problemstellung

Wie ist es beim Sechseck?

3 Kantenmittensechseck

Dem Sechseck R₀R₁...R₅ (Abb. 1a) wird das Kantenmittensechseck A₀A₁...A₅ einbeschrieben (Abb. 1b).

Welche Eigenschaften hat das Kantenmittensechseck?

Abb. 1: Sechseck und Kantenmittensechseck

4 Strahlensatz und Vektoren

Abb. 2: Strahlensatz und Vektoren

Auf Grund des Strahlensatzes (Zentrum R₁, Abb. 2a) ist:

(1)

Analog (Abb. 2b):

(2)

Daher ist:

(3)

Daraus ergibt sich:

(4)

Die drei blauen Vektoren bilden also ein Dreieck (Abb. 3b). Ebenso bilden die drei anderen Seiten parallel verschoben ein Dreieck (Abb. 3c).

Abb. 3: Dreiecke

Wenn die Bedingung (4) nicht erfüllt ist, kann das Sechseck A₀A₁...A₅ kein Umsechseck haben, denn aus der Existenz eines Umsechsecks folgt automatisch (4).

Die Bedingung (4) kennzeichnet also die Kantenmittensechsecke.

5 Weitere Umsechsecke

Wenn wir die Ecken des Umsechseckes R₀R₁...R₅ alternierend um einen Vektor und seinen Gegenvektor verschieben (Abb. 4a), erhalten wir ein Sechseck mit demselben Kantenmittensechseck (Abb. 4b).

Abb. 4: Alternierendes Verschieben der Ecken

Dies ergibt sich unmittelbar aus den Strahlensatz.

Ein Kantenmittensechseck hat also beliebig viele Umsechsecke.

6 Zusammenfassung

Ein Sechseck A₀A₁...A₅ ist genau dann ein Kantenmittensechseck, wenn es die Bedingung (4) erfüllt. In diesem Fall hat es unendlich viele passende Umsechsecke.

7 Link mit dem Satz von Varignon

Die zu (4) analoge Bedingung für ein Viereck A₀A₁A₂A₃ lautet:

(5)

Der zweite Vektor ist also der Gegenvektor zum ersten. Er ist gleich lang und antiparallel. Das heißt, dass das Viereck A₀A₁A₂A₃ ein Parallelogramm ist (Abb. 5).