Hans Walser, [20070329a], [20131215]

Der Turm zu Babel

0        Worum es geht

Die in SchulbŸchern und Lernumgebungen Ÿblichen Zahlenmauern sind Linearkombinationen von Pascal-Dreiecken.

In zyklischen oder periodischen Zahlenmauern entsteht ein Ausgleichseffekt. Bei geeigneter Normierung ergibt sich ein Link zur WŠrmeleitungsgleichung.

1        Konventionelle Zahlenmauern

1.1      Grundmuster

Zahlenmauern erscheinen heute oft in SchulbŸchern. Im einfachsten Fall werden die Zahlen in den Grundsteinen vorgegeben und es sind die folgenden Lagen so zu berechnen, dass jeder Stein die Summe der Zahlen der beiden Steine erhŠlt, auf denen er sitzt.

Zahlenmauer, Vorgabe und Lšsung

Kotrolle mit Excel: Aus technischen GrŸnden wird die vertikale Richtung umgekehrt und alles mit Linksanschlag dargestellt.

8

1

3

9

1

2

9

4

12

10

3

 

13

16

22

13

 

 

29

38

35

 

 

 

67

73

 

 

 

 

140

 

 

 

 

 

Excel

Um die Nummer eines beliebigen Steines zu berechnen, ist es bei Kenntnis des Pascal-Dreieckes nicht erforderlich, die Nummern der Zwischenlagen zu berechnen. Das geht so:

Rechentrick

Wir setzen beim markierten Stein ein Pascal-Dreieck an und ziehen es bis auf die Basiszeile herunter. Dann multiplizieren wir die Binomialkoeffizienten in der Basiszeile mit den entsprechenden Zahlen in den Grundsteinen der Zahlenmauer und addieren. Das ergibt die Zahl im markierten Stein.

In unserem Beispiel hei§t das:

 

 

Warum funktioniert das?

1.2      Variationen

Die Vorgaben kšnnen auch weiter oben liegen.

Vorgabe weiter oben

In diesem Fall kann mit Variablen gearbeitet werden:

 

 

 

Es sind auch widersprŸchliche Vorgaben mšglich:

Wo steckt der Hund?

Der Nachteil dieser Zahlenmauern ist, dass jede Lage eine Einheit kŸrzer ist als die darunter liegende Lage. Die Hšhe der Mauer ist beschrŠnkt durch die Anzahl Steine in der Basis.

Wir kšnnen allerdings auch vorkragend arbeiten, allenfalls stŸtzen wir mit ãNullsteinenÒ.  Der vorkragende Teil hat keinen Einfluss auf die Steine im Innern.

Vorkragend


Kontrolle mit Excel: 

0

0

0

0

0

8

1

3

9

1

2

0

0

0

0

8

9

4

12

10

3

2

0

0

0

8

17

13

16

22

13

5

2

0

0

8

25

30

29

38

35

18

7

2

0

8

33

55

59

67

73

53

25

9

2

8

41

88

114

126

140

126

78

34

11

2

Kontrolle

1.3      Link mit Pascal-Dreieck

Im folgenden rechnen wir von oben herunter, wie wir das von den Pascal-Dreiecken eher gewšhnt sind. Und machen gleich eine allgemeine Analyse an einem einfachen Beispiel:

Analyse

Die Koeffizienten von a bilden ein Pascal-Dreieck, ebenso die Koeffizienten von b und von c. Andersherum formuliert: Wir haben eine Linearkombination von drei Pascal-Dreiecken mit den Koeffizienten a, b, c. Damit lŠsst sich bei Kenntnis der Zahlen in der Startreihe jede beliebige andere Zahl direkt berechnen.

Beispiel:

Welche Zahl hat der rote Stein?

FŸr das markierte Feld erhalten wir ohne Zwischenrechnung:

 

 

 

Die ãŸbersprungenen ZwischenrechnungenÒ sind bereits im Pascal-Dreieck investiert.

1.4      Maximum und Minimum

Aus: [Dunbar/Leitch 2007]. Wir setzen in der untersten Reihe drei verschiedene einstellige Zahlen. In jedes obere Feld kommt jeweils die Summer der beiden Zahlen, auf denen das Feld sitzt. Was ist die Differenz zwischen der grš§ten und der kleinsten Zahl, die im obersten Feld mšglich sind?

Zahlenmauer

Bearbeitung

Die Maximallšsung enthŠlt in der Basis die Zahlen 7, 8, 9 mit der grš§ten Zahl 9 in der Mitte. Das ergibt 33 im obersten Feld. Die Minimallšsung enthŠlt in der Basis die Zahlen 1, 2, 3 mit der kleinsten Zahl 1 in der Mitte. Das ergibt 7 im obersten Feld. Die gesuchte Differenz ist 26.

Maximum und Minimum

2        Rundmauern

Wir denken uns die Mauer eines runden Turmes, etwa des Turmes, in welchem Rapunzel auf den Prinzen wartete.

Rundturm

Da besteht jede Lage aus gleich vielen Steinen und wir kšnnen die Mauer beliebig hoch bauen. Wir haben eine zyklische (periodische) Zahlenmauer in Zylinderform.

Es gibt verschiedene Darstellungsarten.

2.1      Darstellung

2.1.1    Echter Zylinder

Wir arbeiten auf einem Zylindermantel aus Papier, das wir um eine geeignete Dose herumgeklebt haben. Das spielt im Raum und lŠsst sich nicht auf meinen Bildschirm bringen. Die reale Umgebung ist dreidimensional, die Lernumgebung zweidimensional. Dimensionsverlust.

2.1.2    Projizierter Zylinder

Wir zeichnen in der Ebene, aber radial. Der Basiskreis ist dann entweder der innerste oder der Šu§erste Kreis.

Das Beispiel zeigt die Basiszahlen innen; es wurde dann nach au§en gearbeitet.

Radiale Darstellung

Sinnvoll ist es, das Blatt beim Arbeiten zu drehen.

Blatt dreht mit

2.1.3    Abgewickelter Zylinder

Das Beispiel zeigt Vorgabe und Lšsung. Die Rechnung geht von oben nach unten.

Abgewickelter Zylinder

Der linke und der rechte Rand mŸssen identifiziert werden, wie die Mathematiker sagen. Passt ja auch schšn verzahnt ineinander.

Wenn wir die versetzten Zwischenlagen weglassen, erkennen wir das durch die Pfeile angedeutete Rekursionsmuster:

†berspringen einer Lage

Wir lassen nun die Zwischenlagen definitiv weg und nummerieren die restlichen Zahlen wie bei einer Matrix mit . Dabei sein t der Zeilenindex;  sind die vorgegebenen Basiselemente, und in  sei m die Anzahl der auf den Basissteinen aufgebauten (Doppel-)Lagen. Der Spaltenindex x mit  lŠuft um den Turm herum, n ist der Umfang des Turmes. In Formeln ist der Spaltenindex x modulo n zu verstehen.

Es gilt die Rekursion:

 

 

Damit kann bequem mit Excel gearbeitet werden:

8

1

3

9

1

2

19

13

16

22

13

13

64

61

67

73

61

58

Berechnung mit Excel

2.2      Der Turmbau zu Babel

Wir kšnnen nun beliebig in die Hšhe — oder bei Excel in die Tiefe — bauen.

8

1

3

9

1

2

19

13

16

22

13

13

64

61

67

73

61

58

247

253

268

274

253

241

988

1021

1063

1069

1021

982

3979

4093

4216

4222

4093

3973

16024

16381

16747

16753

16381

16018

64447

65533

66628

66634

65533

64441

258868

262141

265423

265429

262141

258862

1038739

1048573

1058416

1058422

1048573

1038733

Der Turmbau zu Babel

Uff, gibt das aber gro§e Zahlen. Klar, die Quersumme vervierfacht sich bei jedem Schritt, da jede Zahl in der nŠchsten Zeile vier Mal erscheint. Da mŸssen auch die einzelnen Zahlen im Prinzip exponentiell wachsen.

Immerhin stellen wir fest, dass sich die Zahlen in der letzten angegebene Zeile relativ viel weniger von einander unterscheiden als die Basiszahlen. Wir haben einen relativen Ausgleichseffekt.

2.3      Pascal-Zylinder

Wir haben gesehen, dass die gewšhnlichen Zahlenmauern Linearkombinationen von Pascal-Dreiecken sind.

Im folgenden ein Beispiel eines reinen Pascal-Zylinders mit dem Umfang ; es werden nur die Zeilen mit geradzahligem Zeilenindex dargestellt, also . An der Spitze steht , links und rechts davon stehen Nullen. ZunŠchst sieht es ganz manierlich aus, und wir erkennen die Zeilen des Pascal-Dreieckes.

Wenn wir aber weiterfahren, kommt der Rundmauereffekt zum Tragen.

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

0

1

4

6

4

1

0

0

0

1

6

15

20

15

6

1

0

1

8

28

56

70

56

28

8

1

11

45

120

210

252

210

120

45

11

78

221

495

792

924

792

495

221

78

455

1015

2003

3003

3432

3003

2003

1015

455

2380

4488

8024

11441

12870

11441

8024

4488

2380

11628

19380

31977

43776

48622

43776

31977

19380

11628

Pascal-Zylinder; nur jede zweite Zeile

3        Mittelbildung

3.1      Arithmetisches Mittel

Um das exponentielle Wachstum der Zahlen zu kompensieren, gehen wir folgenderma§en vor: In der ursprŸnglichen Mauer (mit den versetzten Lagen) erhŠlt jeder Stein nicht die Summe, sondern den Mittelwert der beiden Zahlen, auf denen er sitzt. Es wird lokal ausgemittelt. In der folgenden Abbildung wird von unten nach oben gearbeitet.

Mittelbildung

3.2      Gewichtetes Mittel

Wenn wir die versetzten Lagen weglassen, bleibt fŸr die restlichen Zahlen die Rekursion:

 

 

 

Wir haben ein gewichtetes Mittel: die mittlere Zahl hat doppeltes Gewicht im Vergleich zu den Nachbarzahlen.

Der Viertel kompensiert das Vervierfachen der Quersumme. Die Quersumme bleibt konstant.

Auf diese Weise erhalten wir zwar BrŸche, aber wir bleiben bei den Leuten. Und wie!

3.2.1    Tabelle

Mit unseren Startwerten ergibt sich:

8

1

3

9

1

2

4.7500

3.2500

4.0000

5.5000

3.2500

3.2500

4.0000

3.8125

4.1875

4.5625

3.8125

3.6250

3.8594

3.9531

4.1875

4.2813

3.9531

3.7656

3.8594

3.9883

4.1523

4.1758

3.9883

3.8359

3.8857

3.9971

4.1172

4.1230

3.9971

3.8799

3.9121

3.9993

4.0886

4.0901

3.9993

3.9106

3.9335

3.9998

4.0667

4.0670

3.9998

3.9332

3.9500

4.0000

4.0500

4.0501

4.0000

3.9499

3.9625

4.0000

4.0375

4.0376

4.0000

3.9625

3.9718

4.0000

4.0282

4.0282

4.0000

3.9718

3.9789

4.0000

4.0211

4.0211

4.0000

3.9789

3.9842

4.0000

4.0158

4.0158

4.0000

3.9842

3.9881

4.0000

4.0119

4.0119

4.0000

3.9881

3.9911

4.0000

4.0089

4.0089

4.0000

3.9911

3.9933

4.0000

4.0067

4.0067

4.0000

3.9933

3.9950

4.0000

4.0050

4.0050

4.0000

3.9950

3.9962

4.0000

4.0038

4.0038

4.0000

3.9962

3.9972

4.0000

4.0028

4.0028

4.0000

3.9972

3.9979

4.0000

4.0021

4.0021

4.0000

3.9979

3.9984

4.0000

4.0016

4.0016

4.0000

3.9984

3.9988

4.0000

4.0012

4.0012

4.0000

3.9988

3.9991

4.0000

4.0009

4.0009

4.0000

3.9991

3.9993

4.0000

4.0007

4.0007

4.0000

3.9993

3.9995

4.0000

4.0005

4.0005

4.0000

3.9995

3.9996

4.0000

4.0004

4.0004

4.0000

3.9996

3.9997

4.0000

4.0003

4.0003

4.0000

3.9997

3.9998

4.0000

4.0002

4.0002

4.0000

3.9998

3.9998

4.0000

4.0002

4.0002

4.0000

3.9998

3.9999

4.0000

4.0001

4.0001

4.0000

3.9999

3.9999

4.0000

4.0001

4.0001

4.0000

3.9999

3.9999

4.0000

4.0001

4.0001

4.0000

3.9999

3.9999

4.0000

4.0001

4.0001

4.0000

3.9999

Lokale Mittelbildung — globale Mittelbildung

Die Zahlen nŠhern sich alle der Zahl 4; das ist aber das arithmetische Mittel der sechs Startzahlen. Auf der Hšhe von Rapunzel sind die Steine sehr ausgeglichen.

Das gilt allgemein fŸr n Startzahlen. Aus den lokalen Mitteln ergibt sich ein globales Mittel. Warum?

3.2.2    Grafische Darstellung

Wir ordnen der Zahl  den Punkt mit den kartesischen Koordinaten  zu und verbinden fŸr jeden t-Wert die Punkte zu einem Polygonzug. Den letzten Punkt wiederholen wir am Anfang, um die PeriodizitŠt sichtbar zu machen.

Im folgenden Beispiel ist das Polygon fŸr  (also fŸr die Basiszahlen) schwarz eingezeichnet, dann sind (rot) sukzessive die Polygone fŸr  angegeben.

Wir sehen, wie die Polygone immer flacher werden. Die Spitzen werden abgebaut und die TŠler aufgefŸllt.

Es wird immer flacher

3.2.3    Zyklische grafische Darstellung

Die ãrundenÒ Mauern lassen sich sachgerecht wie folgt darstellen: Wir ordnen in einem polaren Koordinatensystem der Zahl  den Punkt mit dem Polarabstand  und dem Polarwinkel  zu und verbinden fŸr jeden t-Wert die Punkte zu einem geschlossenen Polygonzug.

Im folgenden Beispiel ist das Polygon fŸr  (also fŸr die Ausgangszahlen) schwarz eingezeichnet, dann sind rot die Polygone fŸr  angegeben.

Wir sehen, wie die Polygone sich immer mehr einem regelmŠ§igen n-Eck annŠhern. 

Der Drang zum regelmŠ§igen n-Eck

4        Zwischenspiel – Lernen auf Vorrat

Liebe Kinder, was ihr heute lernt, werdet ihr brauchen, wenn ihr dann gro§ seid.

Lehrer LŠmpel

4.1      Ableitung

In der Schule wird die Ableitung einer Funktion  an der Stelle  so definiert:

Das wird standardmŠ§ig wie folgt illustriert:

Ableitung

Diese Definition ist asymmetrisch. Eine symmetrische Definition kšnnte so aussehen:

Wir nŠhern uns von beiden Seiten der Stelle . Illustration dazu:

Symmetrisches Vorgehen

Es ist dann:

 

 

 

FŸr die zweite Ableitung erhalten wir daraus:

 

 

 

 

Insbesondere ist fŸr :

 

 

Was soll das alles?

4.2      Eine Differenzialgleichung

Wir fassen die oben definierten Zahlen  als StŸtzstellen einer Funktion  von zwei Variablen auf. Es ist dann  und .

FŸr die partielle Ableitung von  nach t verwenden wir die klassische Definition:

 

 

FŸr  erhalten wir:

 

 

FŸr die zweite partielle Ableitung von  nach x verwenden wir die symmetrische Version:

 

 

 

FŸr  erhalten wir:

 

 

 

Und nun: aus der Rekursion

 

 

 

erhalten wir die Beziehung:

 

 

 

Damit ist (man beachte die Vorzeichen):

 

 

 

 

Wegen  erhalten wird schlie§lich approximativ die Differenzialgleichung:

 

 

 

Das ist der eindimensionale Fall der WŠrmeleitungsgleichung. Diese partielle Differenzialgleichung hat allgemein die Form

 

 

 

 

 

mit positivem  und beschreibt verschiedene VorgŠnge in Natur und Technik: WŠrmeleitung, Diffusion, Erosion.

Und eben auch das Verhalten bei runden Zahlenmauern.

5        Erosion

Alle TŠler sollen erhšht werden, und alle Berge und HŸgel sollen erniedrigt werden,

 und was uneben ist, soll gerade, und was hŸgelig ist, soll eben werden.

Der Prophet Jesaja. 40.4

Wenn wir drei bezŸglich x aufeinander folgende Zahlen  haben, bei denen die mittlere Zahl  grš§er ist als der Mittelwert der beiden links und rechts benachbarten Zahlen  und , dann ãsteht die Zahl  vorÒ. Wir haben einen Berg oder zumindest eine nach au§en gerichtete KrŸmmung.

Mittlere Zahl steht vor

In diesem Fall ist:

 

 

 

 

Es ist also  und wegen der Differenzialgleichung  ist auch  negativ, das hei§t, an der Stelle x nehmen die Zahlen ab. Alles was vorsteht wird abgebaut.

Wenn umgekehrt bei drei bezŸglich x aufeinander folgenden Zahlen  die mittlere kleiner ist als der Mittelwert der beiden links und rechts benachbarten Zahlen, haben wir ein Tal oder eine nach innen gerichtete Delle. AuffŸllung.

Literatur

[Dunbar/Leitch 2007] Dunbar, Steven R. and Leitch, Bonnie: The MAA Goes To Middle School (and How You Can Too). FOCUS, The Newsletter of the Mathematical Association of America. February 2007, Vol. 27 Number 2. p 24-26. ISSN: 0731-2040