Hans Walser, [20150102]
Trinomialkoeffizienten
1 Worum geht es
Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten besprochen.
2 Das Dreieck
Die Abbildung 1 zeigt das Zahlendreieck.
Abb. 1: Zahlendreieck
Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen unmittelbar oberhalb sowie links und rechts oberhalb.
Man kann es auch so sehen: Eine Zeile wird dreimal versetzt unter einander geschrieben und dann wird addiert (Abb. 2).
Abb. 2: Zeile dreimal addieren
Die Zahlen ergeben sich als Koeffizienten durch das Potenzieren eines Trinoms:
Alternativ kann mit einem quadratischen Polynom gearbeitet werden:
3 Schreibweise und Indizierung
Fźr die Zahlen des Zahlendreieckes der Abbildung 1 habe ich die Schreibweise
gewŠhlt (Abb. 3).
Abb. 3: Schreibweise und Indizierung
In dieser Bezeichnung gilt die Rekursion:
Wir haben die Symmetriebeziehung:
4 Link zu den źblichen Trinomialkoeffizienten
Wir
potenzieren das Standard-Trinom 
.
ZunŠchst erhalten wir zum Beispiel fźr den Exponenten 4:
Das ist eine hŠssliche Darstellung. Sie kann verbessert werden durch eine zweidimensionale dreiecksfšrmige Anordnung (Abb. 4). Die Terme im Dreieck sind zu summieren.
Abb. 4: Dreiecksanordnung
Die Koeffizienten dieses Schemas sind die źblichen Trinomialkoeffizienten fźr n = 4.
Wir erkennen die gewšhnlichen Binomialkoeffizienten und Produkte davon.
Wenn wir nun die Trinomialkoeffizienten spaltenweise addieren (Abb. 5), ergibt sich die zu 4 gehšrende Zeile des Zahlenschemas der Abbildung 1.
Abb. 5: Spaltenweise Addition
Die
Stimmigkeit dieses Verfahrens kann wie folgt eingesehen werden. In den Formeln
der Abbildung 4 ersetzen wir 
, 
und 
(Abb. 6).
Die Terme in einer Spalte enthalten dieselben Variablen mit denselben Potenzen. Wir kšnnen also spaltenweise addieren.
Abb. 6: Einsicht
In
unserer Bezeichnung fźr 
ergeben
sich damit folgende Summenformeln:
Wer Lust hat, kann einen Induktionsbeweis versuchen.
5 Farbliche Gestaltung
Wir kšnnen wie beim Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten nun auch die Trinomialkoeffizienten modulo m farblich codieren.
In der Abbildung 7 wird zwischen gerade (schwarz) und ungerade (rot) unterschieden.
Abb. 7: Gerade und ungerade
Wir erhalten eine fraktale Struktur, das war ja auch zu erwarten.
In der Abbildung 8 wird modulo 3 gearbeitet.
Abb. 8: Modulo 3
Die Abbildung 9 gibt die Situation fźr modulo 4.
Abb. 9: Modulo 4
Die Abbildung 7 schlie§lich fźr modulo 5.
Abb. 7: Modulo 5