Hans Walser, [20060812a]

Trigonometrie im Schachbrett

Anregung: H. S.

1        Ausgangslage

Die folgende Figur enthŠlt zwei rechtwinklige Dreiecke, das rote Dreieck ist das pythagoreische Dreieck mit den SeitenlŠngen 3, 4, 5. Die Figur lŠsst einen Zusammenhang zwischen den markierten Winkeln vermuten.

 

Winkel?

 

Es ist:

 

 

 

Wir vermuten:

 

 

2        Beweise

2.1       Rechnerischer Beweis

Zu zeigen ist:

 

 

 

Unter Verwendung des Additionstheorems fźr den Tangens erhalten wir:

 

 

2.2       Beweis im Schachbrett

 

Beweis ohne Worte

 

3        Hintergrund

Die primitiven pythagoreischen Dreiecke kšnnen wie folgt parametrisiert werden:

Zu , , ,  ist:

 

 

 

 

Beispiele:

 

 

 

 

 

 

 

 

In dieser Situation gilt:

 

 

Beweis rechnerisch:

 

 

 

Die folgende Figur illustriert den Fall fźr  mit .

 

Beweis ohne Worte