Hans Walser, [20181217]
Trigonometrische IdentitŠt
FŸr eine Ungerade Zahl m = 2n + 1 gilt:
(1)
Detailliert:
(1a)
(1b)
(1c)
Die Abbildungen 1 und 2 illustrieren die Beziehung (1a) exemplarisch fŸr m = 9, also fŸr n = 4, im Einheitskreis und an der Sinuskurve.
Abb. 1: Im Einheitskreis
Abb. 2: Sinuskurve
Wir haben eine Rei§verschlusssymmetrie (Abb. 3). GegenŸberliegende Teile passen in die LŸcken.
Abb. 3: Rei§verschluss
Wir beweisen die Beziehung (1b). In einem Winkelfeld mit dem Scheitelwinkel tragen wir die Einheitsstrecke vom Scheitel ausgehend abwechslungsweise nach oben und nach unten ab. Die Abbildung 4 illustriert das Vorgehen fŸr n = 4, also m = 9. Nach Walser (1988) kommen wir nach m Schritten zum Scheitelpunkt zurŸck.
Abb. 4: Abtragen der Einheitsstrecke
Die dabei auftretenden Winkel sind Vielfache von (Abb. 5). Aus SymmetriegrŸnden ist steht die n + erste Strecke rechtwinklig zur Winkelhalbierenden des Winkelfeldes.
Abb. 5: Winkel
Wir kšnnen n gleichschenklige Dreiecke der SchenkellŠnge 1 einpassen (Abb. 6).
Abb. 6: Gleichschenklige Dreiecke
Diese gleichschenkligen Dreiecke haben vom Scheitelpunkt ausgehend der Reihe nach die Spitzenwinkel:
(2)
Also:
(3)
FŸr die FlŠcheninhalte dieser Dreiecke erhalten wir:
(4)
Die Summe der FlŠcheninhalte ist also:
(5)
Diese Dreiecke bilden zusammen ein grš§eres gleichschenkliges Dreieck mit dem Spitzenwinkel und der BasislŠnge 1. Es hat den FlŠcheninhalt:
(6)
Aus (5) und (6) folgt (1b).
Wir zeigen (1c).
ZunŠchst eine Hilfsformel, eine Art Additionstheorem:
(7)
Beweis der Hilfsformel mit dem Additionstheorem fŸr den Kosinus:
(8)
Wir schreiben die Formel (1c) in der Form:
(9)
Wegen (8) kann das
in der Form geschrieben werden:
(10)
Wegen m = 2n
+ 1 haben wir im letzten Summanden einen rechten Winkel. Dieser Summand
verschwindet also auch. Es bleibt nur der erste Summand Ÿbrig. Damit sind (9)
und (1c) bewiesen.
Literatur
Walser, Hans (1988): Ein Schlie§ungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 1988. S. 161-169.