Hans Walser, [20181217]

Trigonometrische IdentitŠt

1   Die IdentitŠt

FŸr eine Ungerade Zahl m = 2n + 1 gilt:

 

                                                             (1)

 

 

 

Detailliert:

 

                                                                                   (1a)

 

 

 

                                                                                       (1b)

 

 

 

                                                                                        (1c)

 

 

 

2   Die Rei§verschlusssymmetrie

Die Abbildungen 1 und 2 illustrieren die Beziehung (1a) exemplarisch fŸr m = 9, also fŸr  n = 4, im Einheitskreis und an der Sinuskurve.

Abb. 1: Im Einheitskreis

Abb. 2: Sinuskurve

Wir  haben eine Rei§verschlusssymmetrie (Abb. 3). GegenŸberliegende Teile passen in die LŸcken.

Abb. 3: Rei§verschluss

3   Geometrischer Zugang

Wir beweisen die Beziehung (1b). In einem Winkelfeld mit dem Scheitelwinkel  tragen wir die Einheitsstrecke vom Scheitel ausgehend abwechslungsweise nach oben und nach unten ab. Die Abbildung 4 illustriert das Vorgehen fŸr n = 4, also m = 9. Nach Walser (1988) kommen wir nach m Schritten zum Scheitelpunkt zurŸck.

Abb. 4: Abtragen der Einheitsstrecke

Die dabei auftretenden Winkel sind Vielfache von  (Abb. 5). Aus SymmetriegrŸnden ist steht die n + erste Strecke rechtwinklig zur Winkelhalbierenden des Winkelfeldes.

Abb. 5: Winkel

Wir kšnnen n gleichschenklige Dreiecke der SchenkellŠnge 1 einpassen (Abb. 6).

Abb. 6: Gleichschenklige Dreiecke

Diese gleichschenkligen Dreiecke haben vom Scheitelpunkt ausgehend der Reihe nach die Spitzenwinkel:

 

                                                                                     (2)

 

 

 

Also:

 

                                                                                                 (3)

 

 

 

FŸr die FlŠcheninhalte dieser Dreiecke erhalten wir:

 

                                                           (4)

 

 

 

Die Summe der FlŠcheninhalte ist also:

 

                                                                                                             (5)

 

 

 

 

Diese Dreiecke bilden zusammen ein grš§eres gleichschenkliges Dreieck mit dem Spitzenwinkel  und der BasislŠnge 1. Es hat den FlŠcheninhalt:

 

                                                                                                                (6)

 

 

 

Aus (5) und (6) folgt (1b).

4   Formaler Beweis

Wir zeigen (1c).

ZunŠchst eine Hilfsformel, eine Art Additionstheorem:

 

                                                           (7)

 

 

 

Beweis der Hilfsformel mit dem Additionstheorem fŸr den Kosinus:

 

             (8)

 

 

 

 

 

Wir schreiben die Formel (1c) in der Form:

 

              (9)

 

 

 

 

Wegen (8) kann das in der Form geschrieben werden:

 

         (10)

 

 

 

 

 

 

Wegen m = 2n + 1 haben wir im letzten Summanden einen rechten Winkel. Dieser Summand verschwindet also auch. Es bleibt nur der erste Summand Ÿbrig. Damit sind (9) und (1c) bewiesen.

 

Literatur

Walser, Hans (1988): Ein Schlie§ungssatz der Elementargeometrie. Elemente der Mathematik (43), 1988. S. 161-169.