Hans Walser, [20180224]
Teilbarkeit durch 3
Visueller Beweis.
Die Zahl ist durch 3 teilbar.
Beispiele:
n |
|
Zerlegung |
0 |
0 |
3*0 |
1 |
3 |
3*1 |
2 |
15 |
3*5 |
3 |
63 |
3*21 |
4 |
255 |
3*85 |
5 |
1023 |
3*341 |
Tab. 1: Beispiele
Verankerung siehe Tabelle 1.
Induktionsschritt. Sei durch 3 teilbar.
Es ist:
(1)
Damit ist auch durch 3 teilbar.
Bemerkung: Analog kann gezeigt werden, dass durch 3 teilbar ist.
Wir arbeiten mit einem gleichseitigen Dreieck und unterteilen seine Seiten durch fortlaufendes Halbieren in Teile. Damit kšnnen wir das Dreieck in Dreiecke unterteilen (Abb. 1).
Abb. 1: Unterteilung
Wenn wir uns bei der Unterteilung auf das mittelste Dreieck beschrŠnken, sehen wir, dass der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks stets im Inneren eines Teildreiecks liegt (Abb. 2).
Abb. 2: Mittelpunkt im Inneren eines Teildreiecks
Dieses den Mittelpunkt des Startdreiecks enthaltende Teildreieck fŠrben wir schwarz. Durch VerlŠngerung der Seiten des schwarzen Teildreiecks kšnnen wir aus Symmetriegrźnden das Startdreieck in drei kongruente Teile unterteilen, welche alle eine ganze Anzahl von Teildreiecken enthalten (Abb. 3).
Abb. 3: Dreiteilige Drehsymmetrie
Damit ist die Aussage bewiesen.
Bemerkung: Ich habe es nicht geschafft, analog visuell zu zeigen, dass durch 3 teilbar ist.