Hans Walser, [20180224]

Teilbarkeit durch 3

1     Worum es geht

Visueller Beweis.

2     Aussage

Die Zahl  ist durch 3 teilbar.

Beispiele:

n

Zerlegung

0

0

3*0

1

3

3*1

2

15

3*5

3

63

3*21

4

255

3*85

5

1023

3*341

Tab. 1: Beispiele

3     Induktiver Beweis

Verankerung siehe Tabelle 1.

Induktionsschritt. Sei  durch 3 teilbar.

Es ist:

 

                                       (1)

 

 

Damit ist auch  durch 3 teilbar.

Bemerkung: Analog kann gezeigt werden, dass  durch 3 teilbar ist.

4     Visueller Beweis

Wir arbeiten mit einem gleichseitigen Dreieck und unterteilen seine Seiten durch fortlaufendes Halbieren in  Teile. Damit kšnnen wir das Dreieck in  Dreiecke unterteilen (Abb. 1).

Abb. 1: Unterteilung

Wenn wir uns bei der Unterteilung auf das mittelste Dreieck beschrŠnken, sehen wir, dass der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks stets im Inneren eines Teildreiecks liegt (Abb. 2).

Abb. 2: Mittelpunkt im Inneren eines Teildreiecks

Dieses den Mittelpunkt des Startdreiecks enthaltende Teildreieck fŠrben wir schwarz. Durch VerlŠngerung der Seiten des schwarzen Teildreiecks kšnnen wir aus Symmetriegrźnden das Startdreieck in drei kongruente Teile unterteilen, welche alle eine ganze Anzahl von Teildreiecken enthalten (Abb. 3).

Abb. 3: Dreiteilige Drehsymmetrie

Damit ist die Aussage bewiesen.

Bemerkung: Ich habe es nicht geschafft, analog visuell zu zeigen, dass  durch 3 teilbar ist.