Hans Walser, [20150838]

Tangentensiebeneck

1     Worum geht es?

Zu gegebenen sieben SeitenlŠngen  kann ein Tangentensiebeneck konstruiert werden. Die notwendige Rechnung benštigt allerdings CAS.

Das Vorgehen kann auf beliebige Tangentenvielecke ungerader Eckenzahl Ÿbertragen werden.

2     Einige Rechnungen

Die Abbildung 1 zeigt die verwendeten Bezeichnungen.

 

Abb. 1: Bezeichnungen

 

Es ist mit zyklischer Indizierung:

 

                                                                                                           (1)

 

FŸr die Berechnung der  haben wir das Gleichungssystem:

 

                                           (2)

 

 

Dieses Gleichungssystem hat die Koeffizientenmatrix C:

 

                                  mit                             (3)

 

 

 

 

 

Man beachte, dass die analoge Matrix mit einer geraden Spalten- und Zeilenzahl singulŠr ist.

 

Mit der Schreibweise (halber Umfang, s)

 

                                                                                                     (4)

 

 

folgt aus (2):

 

                                                                                                (5)

 

Damit kšnnen wir auf jeder Seite  die Position des BerŸhrungspunktes  des Inkreises bestimmen. Interessant wird die Situation, wenn einzelne -Werte negativ werden.

Fehlt noch der Inkreisradius r. Dazu folgende †berlegung. Das Siebeneck hat die Innenwinkelsumme:

 

                                                                                                             (6)

 

Aus

 

                                                                                             (7)

 

erhalten wir daher die Gleichung fŸr den Inkreisradius r:

 

                                                                                                         (8)

 

Wir lšsen (8) mit CAS nach r auf. Eine allgemeine Formel ist leider viel zu lang, wir arbeiten daher mit numerischen Daten:

 

                                   (9)

 

Maple liefert:

 

restart:

n:=7: # Eckenzahl

a[1]:=6: a[2]:=7: a[3]:=8: a[4]:=9: a[5]:=10: a[6]:=8: a[7]:=10:

for i from n+1 to 2*n do

 a[i]:=a[i-7]:

end:

s:=1/2*sum(a[j], j=1..n):

for i from 1 to n do

 x[i]:=s-a[i+1]-a[i+3]-a[i+5]:

end:

glg:=sum(arctan(r/x[j]), j=1..7)=5/2*Pi;

r:=solve(glg, r);

r:=evalf(r);

 

Abb. 2: Berechnung

 

FŸr die Berechnung von r werden auch kubische Wuzeln benštigt. Wir erhalten numerisch ein komplexes Resultat, aber das ist wohl, weil das System am Anschlag ist oder ich nicht optimal programmiert habe. Der ImaginŠrteil dŸrfte null sein. Somit haben wir fŸr den Inkreisradius r:

 

                                                                                                               (10)

 

3     Die Zeichnung

Die Zeichnung entspricht den Daten (9). Wir beginnen mit ,  und r gemŠ§ Abbildung 3.

 

Abb. 3: Start

 

Anschlie§end kšnnen wir die weiteren Seiten tangential anlegen, bis sich die Figur schlie§t (Abb. 4).

 

Abb. 4: Tangentensiebeneck

 

4     †ber regelmŠ§ige Siebenecke und Siebensterne

Die Abbildung 5 zeigt ein regelmŠ§iges Siebeneck und davon abgeleitete Sterne gleicher SeitenlŠnge.

 

Abb. 5: Sterne

 

In der Abbildung 5c erkennen wir zuinnerst ein Siebeneck der Abbildung 5a und zuzweitinnerst einen Stern der Abbildung 5b.

Das regelmŠ§ige Siebeneck der Abbildung 5a wird gelegentlich mit {7} notiert, fŸr den Stern der Abbildung 5b ist die Notation  gebrŠuchlich und fŸr den Stern der Abbildung 5c die Bezeichnung . Man kann sich Ÿberlegen, wie  und  aussehen und was  oder  bedeutet.

Die Innenwinkelsumme fŸr  ist  und fŸr  nur noch ¹. Wenn wir in der Gleichung (8) diese Werte einsetzen, erhalten wir den Inkreisradius fŸr die entsprechenden Sterne.

Mit den Daten (9) erhalten wir beim Stern  den Inkreisradius:

 

                                                                                                           (11)

 

Die Abbildung 6 zeigt den zugehšrigen Stern. Da die SeitenlŠngen (8) unregelmŠ§ig sind, ist dies auch der Stern.

 

Abb. 6: Stern

 

Mit den Daten (9) erhalten wir beim Stern  den Inkreisradius:

 

                                                                                                         (12)

 

Die Abbildung 7 zeigt den zugehšrigen Stern.

 

Abb. 7: Zweiter Stern

 

5     Ausblick

Das Verfahren lŠsst sich auf Tangentenvielecke mit ungerader Eckenzahl n verallgemeinern. Die Anzahl der verschiedenen Sterne ist . Zum Dreieck gehšrt kein Stern, zum FŸnfeck einer (Pentagramm), zum Siebeneck zwei, zum Neuneck drei.

Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel zum Tangentenneuneck.

 

Abb. 8: Tangentenneuneck

 

Die Abbildung 9 gibt die drei zugehšrigen Sterne. Die Sterne sind so ausgerichtet, dass die horizontalen Seiten  auf einer Geraden liegen.

 

Abb. 9: Sterne