Hans Walser, [20131129]

Summen von Kuben

1     Worum geht es?

Wir suchen ganzzahlige Lšsungen der kubischen Gleichung:

2     Beispiele

Die Tabelle zeigt einige Lšsungen mit natŸrlichen Zahlen. Die Lšsungen wurden mit brute force gefunden.

 

a

b

c

d

1

6

8

9

2

17

40

41

3

4

5

6

3

10

18

19

3

36

37

46

4

17

22

25

6

32

33

41

7

14

17

20

11

15

27

29

15

42

49

58

16

23

41

44

18

19

21

28

27

30

37

46

29

34

44

53

 


 

3     Illustration

Die Abbildung 1 illustriert das einfachste Beispiel: a = 3, b = 4, c = 5  und d = 6.

Abb. 1: Gelb + Blau + Rot = GrŸn

Die Abbildung 2 zeigt in mehreren Schritten den Umbau von Gelb + Balu + Rot in GrŸn.

Abb. 2.1: Ausgangslage

Abb. 2.1: Erster Schritt

Abb. 2.2: Zweiter Schritt

Abb. 2.3: Dritter Schritt

Projekt: Kuben analog zum Soma-WŸrfel (hier der gelbe WŸrfel) zerlegen.

4     Negative Zahlen

Wir lassen nun zu, dass c und allenfalls d negativ sind. Dabei soll aber  sein, um triviale Lšsungen zu vermeiden. Die Tabelle zeigt einige Lšsungen:

 

a

b

c

d

 

a

b

c

d

1

12

-10

9

 

12

40

-33

31

1

12

-9

10

 

12

40

-31

33

2

16

-15

9

 

15

33

-34

2

2

16

-9

15

 

15

33

-2

34

2

34

-33

15

 

16

33

-34

9

2

34

-15

33

 

16

33

-9

34

9

10

-12

1

 

17

39

-36

26

9

10

-1

12

 

17

39

-26

36

9

15

-16

2

 

19

24

-27

10

9

15

-2

16

 

19

24

-10

27

9

34

-33

16

 

26

36

-39

17

9

34

-16

33

 

26

36

-17

39

10

27

-24

19

 

31

33

-40

12

10

27

-19

24

 

31

33

-12

40

Wir sehen, dass sich etliche Lšsungen bis auf Vorzeichenkombinationen und Anordnung wiederholen, so zum Beispiel:

 

a

b

c

d

1

12

-10

9

1

12

-9

10

9

10

-12

1

9

10

-1

12

 

Diese Lšsung kann auch in der Form  geschrieben werden. Einer Anekdote zufolge soll Ramanujan gegenŸber Hardy geŠu§ert haben, die von Hardy als ãnichtssagende ZahlÒ bezeichnete Zahl 1729 sei die kleinste Zahl, welche als Summe von zwei Kuben geschrieben werden kann, eben .

Srinivasa Aiyangar Ramanujan, 1887 – 1920

 

Literatur

Harper, James, F.: Ramanujan, Quadratic Forms, and the Sum of three Cubes. Math. Mag. 86 (2013) 275-279. doi:10. 4169 / math.mag. 86. 4. 275. © Mathematical Association of America