Hans Walser, [20131129]
Summen von Kuben
Wir suchen ganzzahlige Lšsungen der kubischen Gleichung:
Die Tabelle zeigt einige Lšsungen mit natŸrlichen Zahlen. Die Lšsungen wurden mit brute force gefunden.
a |
b |
c |
d |
1 |
6 |
8 |
9 |
2 |
17 |
40 |
41 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3 |
10 |
18 |
19 |
3 |
36 |
37 |
46 |
4 |
17 |
22 |
25 |
6 |
32 |
33 |
41 |
7 |
14 |
17 |
20 |
11 |
15 |
27 |
29 |
15 |
42 |
49 |
58 |
16 |
23 |
41 |
44 |
18 |
19 |
21 |
28 |
27 |
30 |
37 |
46 |
29 |
34 |
44 |
53 |
Die Abbildung 1 illustriert das einfachste Beispiel: a = 3, b = 4, c = 5 und d = 6.
Abb. 1: Gelb + Blau + Rot = GrŸn
Die Abbildung 2 zeigt in mehreren Schritten den Umbau von Gelb + Balu + Rot in GrŸn.
Abb. 2.1: Ausgangslage
Abb. 2.1: Erster Schritt
Abb. 2.2: Zweiter Schritt
Abb. 2.3: Dritter Schritt
Projekt: Kuben analog zum Soma-WŸrfel (hier der gelbe WŸrfel) zerlegen.
Wir lassen nun zu, dass c und allenfalls d negativ sind. Dabei soll aber sein, um triviale Lšsungen zu vermeiden. Die Tabelle zeigt einige Lšsungen:
a |
b |
c |
d |
|
a |
b |
c |
d |
1 |
12 |
-10 |
9 |
|
12 |
40 |
-33 |
31 |
1 |
12 |
-9 |
10 |
|
12 |
40 |
-31 |
33 |
2 |
16 |
-15 |
9 |
|
15 |
33 |
-34 |
2 |
2 |
16 |
-9 |
15 |
|
15 |
33 |
-2 |
34 |
2 |
34 |
-33 |
15 |
|
16 |
33 |
-34 |
9 |
2 |
34 |
-15 |
33 |
|
16 |
33 |
-9 |
34 |
9 |
10 |
-12 |
1 |
|
17 |
39 |
-36 |
26 |
9 |
10 |
-1 |
12 |
|
17 |
39 |
-26 |
36 |
9 |
15 |
-16 |
2 |
|
19 |
24 |
-27 |
10 |
9 |
15 |
-2 |
16 |
|
19 |
24 |
-10 |
27 |
9 |
34 |
-33 |
16 |
|
26 |
36 |
-39 |
17 |
9 |
34 |
-16 |
33 |
|
26 |
36 |
-17 |
39 |
10 |
27 |
-24 |
19 |
|
31 |
33 |
-40 |
12 |
10 |
27 |
-19 |
24 |
|
31 |
33 |
-12 |
40 |
Wir sehen, dass sich etliche Lšsungen bis auf Vorzeichenkombinationen und Anordnung wiederholen, so zum Beispiel:
a |
b |
c |
d |
1 |
12 |
-10 |
9 |
1 |
12 |
-9 |
10 |
9 |
10 |
-12 |
1 |
9 |
10 |
-1 |
12 |
Diese Lšsung kann auch in der Form geschrieben werden. Einer Anekdote zufolge soll Ramanujan gegenŸber Hardy geŠu§ert haben, die von Hardy als ãnichtssagende ZahlÒ bezeichnete Zahl 1729 sei die kleinste Zahl, welche als Summe von zwei Kuben geschrieben werden kann, eben .
Srinivasa Aiyangar Ramanujan, 1887 – 1920
Literatur
Harper, James, F.: Ramanujan, Quadratic Forms,
and the Sum of three Cubes. Math. Mag. 86 (2013) 275-279. doi:10. 4169 / math.mag.
86. 4. 275. © Mathematical Association of America