Hans Walser, [20110124a]

Eine SternflŠche

Anregung: M. W., B.

1        Frage

Wie gro§ ist der Anteil der roten SternflŠche?

 

Wie gro§ ist der rote Stern?

 

2        Rechnerische Lšsung

Wir berechnen den FlŠcheninhalt der acht gelben Dreiecke und subtrahieren dann vom Quadrat. Die Quadratseite setzen wir 1. Wir berechnen zunŠchst das gelbe Dreieck gemŠ§ Abbildung.

 

Wie gro§ ist ein gelbes Dreieck?

 

Das gelbe Dreieck ist Šhnlich zum blau markierten Dreieck (gleiche Winkel). Das KathetenverhŠltnis ist also . Somit ist .


Nach Pythagoras erhalten wir:

 

 

 

 

 

 

Daraus ergibt sich:

 

 

FŸr den FlŠcheninhalt  des gelben Dreiecks erhalten wir:

.

 

 

FŸr den Anteil der roten SternflŠche folgt:

 

 

3        Visuelle Lšsungen

3.1      Umstellen und unterteilen

Wir fŠrben jedes zweite gelbe Dreieck grŸn und legen diese um. Das rote Kreuz ist flŠchenmŠ§ig gleich gro§ wie der rote Stern.

 

Umlegen der grŸnen Dreiecke

 

Nun lassen wir die ŸberflŸssigen Linien weg und zerlegen das rote Kreuz in 12 Dreiecke, die zu den gelben und grŸnen Dreiecken kongruent sind.

 

Zerlegung in Dreieck

 

Jetzt haben wir insgesamt 20 kongruente Dreiecke, 12 davon sind rot. Somit ist:

 

 

3.2      Nur Umstellen

Wir fŠrben wie oben jedes zweite gelbe Dreieck grŸn und legen die grŸnen Dreiecke um. Dann fŸgen wir die gelben Dreiecke au§en an. Es entsteht ein Kreuz aus fŸnf kleinen Quadraten. Dieses Kreuz hat dieselbe FlŠche wie das ursprŸngliche gro§e Quadrat.

 

Es entsteht ein Kreuz aus fŸnf Quadraten

 

Wir lassen  die ŸberflŸssigen Linien weg und stellen noch ein bisschen um.

 

Umstellen

 

Jetzt ist es offensichtlich, dass der rote Anteil drei FŸnftel der gesamten Figur ausmacht.