Hans Walser, [20110124a]
Eine SternflŠche
Anregung: M. W., B.
Wie gro§ ist der Anteil der roten SternflŠche?
Wie gro§ ist der rote Stern?
Wir berechnen den FlŠcheninhalt der acht gelben Dreiecke und subtrahieren dann vom Quadrat. Die Quadratseite setzen wir 1. Wir berechnen zunŠchst das gelbe Dreieck gemŠ§ Abbildung.
Wie gro§ ist ein gelbes Dreieck?
Das gelbe Dreieck ist Šhnlich zum blau markierten Dreieck (gleiche Winkel). Das KathetenverhŠltnis ist also . Somit ist .
Nach Pythagoras erhalten wir:
Daraus ergibt sich:
FŸr den FlŠcheninhalt des gelben Dreiecks erhalten wir:
.
FŸr den Anteil der roten SternflŠche folgt:
Wir fŠrben jedes zweite gelbe Dreieck grŸn und legen diese um. Das rote Kreuz ist flŠchenmŠ§ig gleich gro§ wie der rote Stern.
Umlegen der grŸnen Dreiecke
Nun lassen wir die ŸberflŸssigen Linien weg und zerlegen das rote Kreuz in 12 Dreiecke, die zu den gelben und grŸnen Dreiecken kongruent sind.
Zerlegung in Dreieck
Jetzt haben wir insgesamt 20 kongruente Dreiecke, 12 davon sind rot. Somit ist:
Wir fŠrben wie oben jedes zweite gelbe Dreieck grŸn und legen die grŸnen Dreiecke um. Dann fŸgen wir die gelben Dreiecke au§en an. Es entsteht ein Kreuz aus fŸnf kleinen Quadraten. Dieses Kreuz hat dieselbe FlŠche wie das ursprŸngliche gro§e Quadrat.
Es entsteht ein Kreuz aus fŸnf Quadraten
Wir lassen die ŸberflŸssigen Linien weg und stellen noch ein bisschen um.
Umstellen
Jetzt ist es offensichtlich, dass der rote Anteil drei FŸnftel der gesamten Figur ausmacht.