Hans Walser, [20201223]
Stereografische Projektion
Wir projizieren die platonischen Kšrper vom Mittelpunkt aus auf ihre Umkugel (sphŠrische platonische Kšrper).
Wir wŠhlen nun den Mittelpunkt eines sphŠrischen Seitenvielecks als Projektionszentrum fźr eine stereografische Projektion. Die Bilder der Kantenbšgen sind Kreisbšgen (Kreisinvarianz der stereografischen Projektion). Sie bilden insgesamt ein Schlegel-Diagramm mit Kreisbšgen.
Wir hŠngen an an die gradlinigen Schlegel-Diagramme, die sich aus der stereografischen Projektion ergeben. Die Ecken (Knoten) sind dieselben wie bei unseren gesuchten Schlegel-Diagrammen mit Kreisbšgen. Aus der Winkelinvarianz der stereografischen Projektion lassen sich die Kreisbšgen mit elementarer Geometrie in der Ebene konstruieren. Bei jeder Ecke (jedem Knoten) haben wir eine Gleichverteilung der Winkel.
Die radialen Strecken bleiben Strecken (Bilder von Gro§kreisen durch das Projektionszentrum).
Bšgen und Strecken liegen auf durchgehenden Kreisen und Geraden (Mšbiuskreise).
Abb. 1: Schlegel-Diagramm
Abb. 2: Bogendiagramm
Abb. 3: Schlegel-Diagramm
Abb. 4: Bogendiagramm
Die Bšgen liegen auf durchgehenden Kreisen und Geraden (Abb. 5). Dies liegt daran, dass im sphŠrischen Hexaeder gegenźberliegende Kanten auf demselben Gro§kreis liegen.
Abb. 5: Durchgehende Kreise
Bemerkung: In unserem Kontext der stereografischen Projektion werden Kreise und Geraden oft unter dem Oberbegriff Mšbiuskreise zusammengefasst (August Ferdinand Mšbius, 1790-1868).
Abb. 6: Schlegel-Diagramm
Abb. 7: Bogendiagramm
Das sphŠrische Oktaeder besteht aus drei paarweise orthogonalen Gro§kreisen. Das Bogendiagramm daher aus drei paarweise orthogonalen Kreisen.
Abb.8: Schlegel-Diagramm
Abb. 9: Implementierte Bšgen
Abb. 10: Bogendiagramm
Abb. 11: Mšbiuskreise
Abb. 12: Schlegel-Diagramm
Abb. 13: Implementierte Bšgen
Abb. 14: Bogendiagramm
Abb. 15: Mšbiuskreise
Websites
Hans
Walser: Kuboktaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kuboktaeder/Kuboktaeder.htm
Hans
Walser: Stereografische Projektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stereo_Proj/Stereo_Proj.htm
Hans
Walser: Stereografische Projektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stereo_Proj_2/Stereo_Proj_2.htm
Hans
Walser: Stereografische Projektion
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stereo_Proj_3/Stereo_Proj_3.htm