Hans Walser, [20141103]

Silbernes Rechteck und Siebeneck

Anregung: A. A. G., St. G.

1     Worum geht es?

Eine Einschiebekonstruktion (Neusis) mit dem Silbernen Rechteck fŸhrt zum regelmŠ§igen Siebeneck.

2     Das Silberne Rechteck

Wenn wir von einem Papier im DIN-Format ein Quadrat abschneiden, bleibt ein Rechteck mit dem SeitenverhŠltnis  Ÿbrig (Abb. 1) (Walser 2013).

 

Abb. 1: Silbernes Rechteck

 

Zwischenbemerkung: Das Silberne Rechteck hat einen Diagonalenschnittwinkel 45¡. Wir kšnnen daher mit vier Silbernen Rechtecken durch Verdrehen ein regelmŠ§iges Achteck bauen (Abb. 2).

 

Abb. 2: RegelmŠ§iges Achteck

 

3     Quadrat abschneiden

Wir kšnnen vom Silbernen Rechteck seinerseits ein Quadrat abschneiden. Dann bleibt ein Rechteck im DIN-Format Ÿbrig (Abb. 3).

 

Abb. 3: Quadrat abschneiden

 

Diese Eigenschaft des Silbernen Rechteckes kann nun zu einer Einschiebekonstruktion (Neusis) fŸr das regelmŠ§ige Siebeneck verwendet werden.

4     Einschiebekonstruktion fŸr das regelmŠ§ige Siebeneck

Wir beginnen mit einem Silbernen Rechteck im Hochformat und unterteilen in Quadrat und DIN-Rechteck (Abb. 4). Weiter zeichnen wir die lange Mittelparallele (blau) sowie einen roten Kreisbogen gemŠ§ Abbildung 4.

 

Abb. 4: Vorbereitung des Silbernen Rechteckes

 

Nun schieben wir ein zweites gleich gro§es Silbernes Rechteck ein gemŠ§ Abbildung 5.

 

Abb. 5: Einschieben eines zweiten Silbernen Rechteckes

 

Die Ecke rechts oben des neuen Silbernen Rechteckes kommt auf die blaue Mittellinie zu liegen, der †bergangspunkt rechts vom Quadrat zum DIN-Rechteck auf den roten Kreisbogen und die rechte Kante des neuen Silbernen Rechteckes auf die untere linke Ecke des alten Silbernen Rechteckes.

Nun haben wir drei Eckpunkte des regelmŠ§igen Siebeneckes und kšnnen dieses zeichnen (Abb. 6). Die Schmalseite der Silbernen Rechtecke ist die SeitenlŠnge des Siebeneckes.

 

Abb. 6: RegelmŠ§iges Siebeneck

 

Die Stimmigkeit dieser Einschiebekonstruktion ergibt sich aus (GŠcher 2013).

5     Variante

Wir verwenden den Schnittpunkt der blauen Mittellinie und des roten Kreisbogens (Abb. 7).

 

Abb. 7: Variante

 

Zusammen mit der blauen Mittellinie als Symmetrieachse und dem eingeschobenen †bergangspunkt auf dem roten Kreisbongen haben wir die Informationen fŸr ein weiteres regelmŠ§iges Siebeneck (Abb. 8).

 

Abb. 8: Zweite Lšsung

 

Die Abbildung 9 illustriert den Zusammenhang der beiden Lšsungen.

 

Abb. 9: Die beiden Lšsungen

 

Literatur

GŠchter, Albert A. (2013): 7 Zahnstocher. Anregungen fŸr den Mathematikunterricht. St. Gallen: Mefi-Verlag GŠchter. ISBN 978-3-9523962-2-3.

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.