Hans Walser, [20080126a]

Sierpinski, Cantor & Co

1 Das Sierpinski-Dreieck

Ein Uralt-Trick, das Sierpinski-Dreieck zu generieren, besteht darin, dass man zunächst die drei Eckpunkte , , des gleichseitigen Dreieckes nimmt. Anschließend wird eine Punktfolge mit dem Startpunkt rekursiv definiert:

Dabei ist r eine Zufallszahl aus {0, 1, 2}. Für ergibt sich das gewöhnliche Sierpinski-Dreieck. Es sind 4000 Punkte gezeichnet.

Problematisch bei diesem Verfahren ist, dass wir viele Punkte brauchen (Speicher, Rechenzeit) und dass es Probleme mit der Auflösung gibt.

Das Sierpinski-Dreieck hat die fraktale Dimension

2 Varianten zum Sierpinski-Dreieck

Natürlich variieren wir nun das .

Für erhalten wir:

Das sieht noch ganz ordentlich nach Fraktal aus. Für die fraktale Dimension erhalten wir:

Das ist nicht eben „fraktal“.

Für erhalten wir:

Die Punkte scheinen (für ) überall dicht im Dreieck zu liegen. Die fraktale Dimension ist 2.

Für gibt es auch etwas Schönes.

Für reisen die Punkte ab.

Für haben die Punkte den Schwerpunkt als Limes.

3 Cantor

Wir können auch die Eckenzahl variieren. Für nur 2 Ecken und erhalten wir die übliche Cantor-Menge (das so genannte Cantorsche Diskontinuum):

Die Cantor-Menge hat die fraktale Dimension .

Für (goldener Schnitt) erhalten wir die unendlich fortgesetzte Unterteilung im goldenen Schnitt.

4 Viereck

Das Viereck ist langweilig.

Die fraktale Dimension ist , das Doppelte der fraktalen Dimension der Cantor-Menge.

5 Fünfeck

Beim Fünfeck fahren wir gleich mit dem goldenen Schnitt los:

6 Sechseck

Beim Sechseck arbeiten wir mit .

Wir erkennen im Zentrum die Kochsche Schneeflocke.

7 Siebeneck

Beim Siebeneck versuchen wir es mit .

8 Software

Die Bilder wurden mit MuPAD gezeichnet. Nachfolgend das Programm für das Sierpinski-Dreieck.

n:=3:

m:=4000:

lambda:=0.5:

delta:=PI/2:

for k from 0 to n-1 do

P[k]:=cos(k*2*PI/n+delta)+I*sin(k*2*PI/n+delta):

end_for:

Q[0]:=P[0]:

r:=random(0..n-1):

for j from 1 to m do

Q[j]:=lambda*Q[j-1]+(1-lambda)*P[r()]:

end_for:

Punkt:=k->plot::Point2d([Re(P[k]), Im(P[k])], PointSize=2,

PointColor=[0,0,1]):

Qunkt:=j->plot::Point2d([Re(Q[j]), Im(Q[j])], PointSize=0.5,

PointColor=[1,0,0]):

plot(Punkt(k)$k=0..n-1, Qunkt(j)$j=1..m, Scaling=Constrained,

Axes=None, Width=140, Height=140, BorderWidth=1/4*unit::mm):