1 Worum es geht

Einschiebekonstruktion für das regelmäßige Siebeneck

2 Gleichschenkliges Dreieck

Wir beginnen mit einem sehr spitzen gleichschenkligen Dreieck und tragen die Basislänge im Zickzack dreimal ab (Abb. 1).

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Abb.1: Gleichschenkliges Dreieck mit Zickzack

Nun spreizen wir das Dreieck. Wir vergrößern den Winkel an der Spitze. Dadurch wird auch die Basis größer, entsprechend vergrößern sich die Seiten der Zickzacklinie. Der Endpunkt der Zickzacklinie verschiebt sich gegen die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks. Wir spreizen so lange, bis der Endpunkt der Zickzacklinie auf die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks zu liegen kommt (Abb. 2).

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Abb. 2: Spreizen des gleichschenkligen Dreiecks

In der Endlage misst der Winkel an der Spitze π/7.

Dies kann eingesehen werden wie folgt. Den Winkel an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks bezeichnen wir mit γ.

In der Endlage zerlegt die Zickzacklinie das gelbe Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke (Abb. 3). Durch Winkelüberlegungen an diesen gleichschenkligen Dreiecken (Außenwinkel an der Spitze gleich Summe der Basiswinkel) ergibt sich für den Basiswinkel des ursprünglichen gleichschenkligen Dreiecks 3γ. Somit erhalten wir für dessen Winkelsumme:

γ + 3γ + 3γ = π

γ = π/7

Abb. 3: Beweisfigur

Damit haben wir mehrere Möglichkeiten, zum regelmäßigen Siebeneck zu kommen.

3 14-Eck

Durch mehrfaches Spiegeln an den Schenkeln erhalten wir ein regelmäßiges 14-Eck (Abb. 4). Wenn wir davon jede zweite Ecke nehmen, ergibt sich ein regelmäßiges Siebeneck.

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Abb. 4: Regelmäßiges 14-Eck

4 Umkreis

Auf dem Umkreis des gleichschenkligen Dreiecks können wir siebenmal die Basislänge abtragen (Abb. 5).

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Abb. 5: Umkreis

5 Kleines gleichschenkliges Dreieck

Das kleinste gleichschenklige Dreieck in der Zerlegung in der Abbildung 3 ist ähnlich zum ursprünglichen gleichschenkligen Dreieck. Wir können also auch damit fuhrwerken (Abb. 6 und Abb. 7).

Ein Bild, das Farbigkeit, Kreis, Symmetrie, Kunst enthält.

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