Hans Walser, [20100730a]

Eine seltsame Gerade

1        Worum es geht

Im Umfeld der Kiepert-Hyperbel und der Euler-Gerade finden wir eine Gerade als Ort von Schnittpunkten.

2        Die Kiepert-Hyperbel

Einem Dreieck  setzen wir Šhnliche gleichschenklige Dreiecke  mit Basiswinkel  und Spitze  auf (Indizes modulo 3).

Die drei Geraden  schneiden sich in einem Punkt S. Dies folgt aus einem Satz von Jacobi (vgl. [Walser 2004], S. 145).

Wird der Basiswinkel  variiert, beschreibt S eine gleichseitige Hyperbel, die so genannte Kiepert-Hyperbel (vgl. [Eddy/Fritsch 1994] und [Walser 2004], S. 150).

Kiepert-Hyperbel


3        Die seltsame Gerade

Nun sei  der Schnittpunkt der beiden Geraden  und . Anschaulich gesprochen hei§t das, dass wir die Schenkel der Dreiecke ănach untenŇ verlŠngern, bis sie sich wechselseitig schneiden.

Die Gerade

Die drei Geraden  schneiden sich in einem Punkt T. Auch dies folgt aus dem Satz von Jacobi.

Wird nun der Winkel  variiert, beschreibt T eine Gerade. Die Gerade verlŠuft (fźr ) durch den Umkreismittelpunkt des Dreieckes , ist aber nicht die Euler-Gerade.

Verifikation mit DGS.

Fragen:

á      Wie hei§t diese Gerade?

á      Beweis lege artis?


4        †berlagerung 1

Die folgende Abbildung zeigt die †berlagerung der beiden Figuren.

Kiepert-Hyperbel und Gerade


Wenn wir etwa die Gerade  an der Winkelhalbierenden  des Dreieckswinkels an der Ecke  spiegeln, kommt sie auf die Gerade  zu liegen. Verifikation DGS. Somit ist der Punkt T eine Art ăSpiegelpunktŇ des Punktes U und unsere Gerade eine Art ăSpiegelbildŇ der Kiepert-Hyperbel.

Spiegelung an Winkelhalbierenden


5        Ein weiterer Schnittpunkt

Die drei Geraden  schneiden sich in einem Punkt U.

Ein weiterer Schnittpunkt


Die drei Schnittpunkte S, T und U sind kollinear. Verifikation DGS.

Kollineare Punkte


Bei Variation von  beschreibt der Punkt U eine Gerade. Diese ist nun die Euler-Gerade. Verifikation DGS.

Euler-Gerade

Die Euler-Gerade kann also als Ort von Schnittpunkten erzeugt werden (vgl. [Walser 1993]).


6        †berlagerung 2

Die folgende Figur zeigt die †berlagerung sŠmtlicher besprochener Figuren.

†berlagerung 2

Literatur

[Eddy/Fritsch 1994]   Eddy, R.H. / Fritsch, R.: The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Mathematics Magazine. Vol. 67, No. 3, June 1994, p. 188 - 205.

[Walser 1993]             Walser, Hans: Die Eulersche Gerade als Ort "merkwźrdiger Punkte". Didaktik der Mathematik (21), 1993, 95-98

[Walser 2004]             Walser, Hans: 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3-937219-10-2