Hans Walser, [20161231]

Schwerpunkte im semiregulŠren FŸnfeck

1     Worum geht es?

Das semiregulŠre FŸnfeck entsteht durch Wegnahme eines Rhombus vom regulŠren FŸnfeck gemŠ§ Abbildung 1. Das semiregulŠre FŸnfeck ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig.

Abb. 1: RegulŠres und semiregulŠres FŸnfeck

Wir bestimmen Eckenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und FlŠchenschwerpunkt im semiregulŠren FŸnfeck.

2     Gleichseitige Vielecke

In gleichseitigen Vielecken stimmen Eckenschwerpunkt und Kantenschwerpunkt Ÿberein.

Beweis: Im n-Eck A1...An erhalten wir den Eckenschwerpunkt E durch:

 

                                                                                                         (1)

 

Da alle Seiten gleich lang sind, also dasselbe ãGewichtÒ haben, ergibt sich der Kantenschwerpunkt K als Eckenschwerpunkt der Kantenmitten M1, ... , Mn, also:

 

                         (2)

 

 

 

Da das semiregulŠre FŸnfeck gleichseitig ist, stimmen Eckenschwerpunkt und Kantenschwerpunkt Ÿberein.

3     Ecken- und Kantenschwerpunkt

Die Abbildung 2 zeigt die Konstruktion des Eckenschwerpunktes E. Das ist dann auch der Kantenschwerpunkt.

Abb. 2: Ecken- und Kantenschwerpunkt

4     FlŠchenschwerpunkt

Der FlŠchenschwerpunkt ist Ÿberraschenderweise der Eckpunkt A3 (Abb. 3).

Abb. 3: FlŠchenschwerpunkt

Das kšnnen wir wie folgt einsehen.

Das regulŠre FŸnfeck A1A2SA4A5 hat den Mittelpunkt M als FlŠchenschwerpunkt.

Der abzuschneidende Rhombus SA4A3A2 hat den Mittelpunkt N als FlŠchenschwerpunkt. Der Rhombus besteht aus den beiden kongruenten Dreiecken A3A2A4 und SA4A2. Diesen beiden Dreiecken ordnen wir je den FlŠcheninhalt 1 zu. Der Rhombus hat also den FlŠcheninhalt 2.

Das semiregulŠre FŸnfeck A1...A5 besteht aus zwei sich Ÿberlappenden Dreiecken A1A2A5 und A5A1A4. Diese beiden Dreiecke sind kongruent zu den beiden Dreiecken, aus denen sich der Rhombus zusammensetzt. Sie haben also ebenfalls je den FlŠcheninhalt 1. Wegen (Teilung im Goldenen Schnitt)

 

                                                                                                     (3)

 

hat das †berlappungsdreieck A3A5A1 den FlŠcheninhalt . Somit hat das semiregulŠre FŸnfeck A1...A5 den FlŠcheninhalt:

 

                                                                                                                   (4)

 

Dabei ist  (Walser 2013, S. 16).

Wir haben also:

 

                                                          gelb : rot                                                     (5)

 

Im Zentrum der Abbildung 3 sehen wir ein kleines regulŠres FŸnfeck. FŸr die eingezeichneten Strecken a und b gilt:

 

                                                                                                           (6)

 

Nun ist aber (Walser 2013, S. 77):

 

                                                                                                                   (7)

 

Aus (5), (6) und (7) folgt:

 

                                                          gelb : rot = a : b                                                     (8)

 

Nach den Hebelgesetzen von Archimedes ist daher A3 der FlŠchenschwerpunkt des semiregulŠren FŸnfeckes A1...A5.

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.