Hans Walser, [20120401]
Schwerpunkte nach Archimedes
Wir konstruieren den
Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie
viele Arten dies mšglich ist.
Das Eineck besteht nur
aus einem Punkt, und dieser ist sein eigener Schwerpunkt.
Bei zwei Punkten ist
der Mittelpunkt ihrer Strecke der Schwerpunkt. Diese Konstruktion kann nur auf
eine Art durchgefŸhrt werden (Abb. 1).
Abb. 1: Der Mittelpunkt
ist Schwerpunkt
Wir verbinden zwei der
drei Dreiecksecken. Deren Schwerpunkt ist der Mittelpunkt. In diesem Punkt
hŠngen zwei Massen. Nun verbinden wir diesen (lokalen) Schwerpunkt mit der
dritten Dreiecksecke, wir zeichnen also die Seitenhalbierende. Da wir an einem
Ende (Seitenmitte) dieser Seitenhalbierenden zwei Massen haben, am anderen Ende
(Dreiecksecke) aber nur eine, mŸssen wir fŸr den Schwerpunkt dritteln. Der
Schwerpunkt ist ein Drittel von der Seitenmitte entfernt. Das ist dann auch der
Schwerpunkt aller drei Dreiecksecken.
Diese Konstruktion kann
auf drei Arten durchgefŸhrt werden (Abb. 2).
Abb. 2: Drei
Konstruktionen des Schwerpunktes
Die †berlagerung der
drei Figuren ist von der Schule her bekannt (Abb. 3).
Abb. 3: †berlagerung
Das gelb markierte
Dreieck (Seitenmittendreieck) ist lŠngenmŠ§ig halb so gro§ wie das
Ausgangsdreieck. Es ergibt sich aus dem Ausgangsdreieck durch eine zentrische
Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor . Der FlŠcheninhalt des gelben Dreiecks ist ein Viertel des
FlŠcheninhaltes des Ausgangsdreieckes. Dies kann durch eine Parkettierung
gezeigt werden.
Die Abbildung 4 zeigt
ein Beispiel fŸr das Viereck. Zuerst wird halbiert (rot), dann gedrittelt
(grŸn) und dann geviertelt (blau).
Abb. 4: Viereck
Es geht aber auch
anders (Abb. 5). Da wird ausschlie§lich halbiert.
Abb. 5: Halbieren
Auf wie viele Arten
kann im Viereck der Schwerpunkt nach Archimedes gefunden werden?
FŸr Konstruktionen vom
Typ der Abbildung 4 wŠhlen wir zunŠchst einen Eckpunkt (4 Mšglichkeiten) und
verbinden mit einem anderen Eckpunkt (3 Mšglichkeiten, rot). Dann zeichnen wir
den Mittelpunkt dieser Strecke (rot) und verbinden mit einem weiteren Eckpunkt
(noch 2 Mšglichkeiten, grŸn. Diese Strecke dritteln wir. Der Drittelpunkt
(grŸn) nŠher beim Mittelpunkt des ersten Konstruktionsschrittes ist der
Schwerpunkt der bislang verwendeten Eckpunkte. Wir verbinden diesen grŸnen
Schwerpunkt mit der verbleibenden Ecke (nur eine Mšglichkeit, blau) und
vierteln. Der Viertelpunkt (blau) nahe beim Schwerpunkt des zweiten
Konstruktionsschrittes ist der Schwerpunkt der vier Eckpunkte.
Der erste Schritt (rot)
wird bei dieser kombinatorischen AbzŠhlung allerdings doppelt gezŠhlt. FŸr die
Gesamtzahl der Konstruktionen nach dem Typ der Abbildung 4 ergeben sich somit Mšglichkeiten.
Die Abbildung 6 listet diese explizit auf.
Abb. 6: Die zwšlf
Beispiele
FŸr die Konstruktionen
vom Typ der Abbildung 5 mŸssen wir die 4 Eckpunkte in Paare aufteilen. Dazu
gibt es Mšglichkeiten.
Der Mittelpunkt der Mittelpunkte der beiden Paare ist jeweils der Schwerpunkt
der vier Ecken. Bei diesen Konstruktionen mŸssen wir lediglich halbieren. Die
Abbildung 7 listet die drei FŠlle explizit auf.
Abb. 7: Drei FŠlle mit Halbieren
Es gibt also insgesamt
15 FŠlle. Die Abbildung 8 zeigt die †berlagerung dieser 15 FŠlle.
Abb. 8: †berlagerung
Die drei in der
Abbildung 9 markierten Viereck sind Parallelogramme. Das erste ist ein
LadenhŸter der Schulgeometrie.
Abb. 9: Drei
Parallelogramme
Das in der Abbildung 10
markierte gelbe Viereck ist Šhnlich zum Ausgangsviereck. Es ergibt sich aus dem
Ausgangsviereck durch eine zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor .
Abb. 10: €hnliches
Viereck
FlŠchenmŠ§ig ist das
gelbe Viereck ein Neuntel des Ausgangsviereck. Ein Versuch, dies durch eine
Parkettierung zu zeigen, scheitert (Abb. 11). An den Ecken des Ausgangsviereckes
erscheinen Parallelogramme, welche nicht gleich gro§ sind.
Abb. 11: Keine
Parkettierung
Wenn wir doch
parkettieren (man kann mit jedem Viereck ein Parkett bauen), ergibt sich eine
Umrissfigur mit neun Ecken, welche FlŠchengleich zum Ausgangsviereck ist (Abb.
12).
Abb. 12: Parkettierung
Die FlŠchengleichheit
der beiden Figuren kann auch mit einem Zerlegungsbeweis gezeigt werden (Abb.
13).
Abb. 13:
Zerlegungsbeweis
Die Abbildung 14 zeigt
zwei verschiedene Beispiele fŸr das FŸnfeck. Die gefŸllten Punkte illustrieren
die benštigten TeilverhŠltnisse. Der Schwerpunkt ist schwarz gezeichnet.
Abb. 14: FŸnfeck
Wer Lust hat, kann sich
Ÿberlegen, wie viele FŠlle es beim FŸnfeck insgesamt gibt.
Wir bezeichnen mit die Anzahl der
FŠlle beim n-Eck.
Aus unseren Beispielen
erhalten wir die Tabelle 1.
Tab. 1: Beispiele
Wir gehen davon aus,
dass wir fŸr kennen und
suchen eine Rekursionsformel fŸr .
Dazu unterteilen wir
die n in zwei nichtleere disjunkte
Teilmengen von k und Punkten. Dies
geht auf Arten. Zur
Teilmenge von k Punkten kšnnen
wir auf Arten den
Schwerpunkt konstruieren, zur KomplementŠrmenge auf Arten. Nun
unterteilen wir die Verbindungsstrecke der Schwerpunkte der beiden Teilmengen
im VerhŠltnis und erhalten so
den Schwerpunkt der n Punkte.
Somit ist:
Der Faktor ist
erforderlich, weil die Teilmengen fŸr j
Punkte sowohl fŸr wie auch fŸr berŸcksichtigt
werden. Die Summe lŠuft von 1 bis , weil die Teilmengen mindestens 1 und hšchstens Elemente
enthalten.
Mit Hilfe dieser
Rekursionsformel und dem Startwert erhalten wir die
Werte der Tabelle 2, Spalte 2.
Tab. 2: Beispiele.
Zerlegung
Die Zahlen werden rasch
gro§. Aus der dritten Spalte der Tabelle 2 ergibt sich die Vermutung fŸr eine explizite
Formel:
FŸr den Beweis dieser
expliziten Formel arbeiten wir mit den Catalan-Zahlen. Die Anregung dazu
erhielt ich von P. W. in A..
Eugne Charles Catalan,
(1814 in BrŸgge – 1894), belgischer Mathematiker
Definition der
Catalan-Zahlen:
Numerisch:
FŸr die Catalan-Zahlen
gilt die Rekursion von Segner 1758 (Johann Andreas von Segner, 1704 in Pressburg (Bratislava) –
1777 in Halle):
Mit Hilfe der
Catalan-Zahlen kšnnen wir die vermutete explizite Formel umschreiben:
Zu zeigen ist: erfŸllt die
Rekursion
mit dem Startwert .
Startwert: ok.
Rekursion:
Linke Seite:
Rechte Seite:
Nun verwenden wir die
Rekursion von Segner:
ZunŠchst ist:
Durch Umindizieren
ergibt sich:
Somit erhalten wir fŸr
die rechte Seite:
Dies ist gleich der
linken Seite.
Die explizite Formel
ist bewiesen.