Hans Walser, [20160720]

Rund ohne ¹

1     Worum geht es?

Wir sind uns gewohnt, dass bei der Berechnung von runden Sachen die Kreiszahl ¹ auftritt.

Es werden Beispiele im Raum vorgestellt, die durchaus ãrundÒ sind, aber fŸr die Berechnung von Volumen und OberflŠche die Kreiszahl ¹ nicht benštigen.

2     Rund von vorne und von der Seite

2.1    Die Figur

Die Figur der Abbildung 1 hat sowohl von vorne wie auch von der Seite her gesehen einen kreisfšrmigen Umriss. Von oben sehen wir ein Quadrat.

Abb. 1: Rund

Die Figur kann um eine Kugel gepackt werden, wie die schrittweise Abwicklung zeigt (Abb. 2).

Abb. 2: Einbeschriebene Kugel

2.2    Volumen

FŸr die Berechnungen setzen wir den Kugelradius r = 1.

FŸr das Volumen V unserer Figur finden wir:

 

                                                                                                   (1)

 

Zum Vergleich: Die einbeschriebene Kugel hat das Volumen VKugel:

 

                                                                                                     (2)

 

2.3    Abwicklung und OberflŠche

Die Abbildung 3 zeigt in Draufsicht die Abwicklung der Abbildung 2, unter Weglassung der Kugel.

Abb. 3: Abwicklung

Die RŠnder der Abwicklung sind ordinŠre Sinuskurven. Daher hat die Abwicklung den FlŠcheninhalt 16. Dies ist auch die OberflŠche unserer Figur.

Zum Vergleich: Die Kugel hat die OberflŠche 4¹ Å 12.5664.

3     Verallgemeinerung

Wir verallgemeinern so, dass wir von oben ein dem KugelŠquatorkreis umbeschriebenes regelmŠ§iges n-Eck sehen. Wir erhalten dann eine Figur mit n Kanten.

Die folgenden Abbildungen zeigen jeweils fŸr n = 3, 5, 6, 7, 8 die Figur und die Abwicklung.

Die Rasterung ist jeweils der Kantenzahl angepasst.

3.1    Drei Kanten

Abb. 4: Drei Kanten

Abb. 5: Abwicklung

3.2    FŸnf Kanten

Abb. 6: FŸnf Kanten

Abb. 7: Abwicklung

3.3    Sechs Kanten

Abb. 8: Sechs Kanten

Abb. 9: Abwicklung

3.4    Sieben Kanten

Abb. 10: Sieben Kanten

Abb. 11: Abwicklung

3.5    Acht Kanten

Abb. 12: Acht Kanten

Abb. 13: Abwicklung

3.6    Volumen

FŸr das Volumen berechnen wir zunŠchst die €quatorflŠche, also die FlŠche das dem Einheitskreis umbeschriebene n-Eck. FŸr diese FlŠche gilt:

 

                                                                                                                  (3)

 

NatŸrlich erscheint hier die Kreiszahl ¹. Nun ist es aber so, dass  fŸr etliche natŸrliche Zahlen n durch Wurzeln ausgedrŸckt werden kann:

 

n

Bemerkungen

3

 

4

1

 

5

6

 

7

 

Geht nicht

8

 

Tab. 1: AusdrŸcke mit Wurzeln

Bei n = 7 gibt es keinen passenden Wurzelausdruck. Das hŠngt damit zusammen, dass das regelmŠ§ige Siebeneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

FŸr die Ma§zahl des Volumens Vn eines Kšrpers mit n Kanten mŸssen wir die Ma§zahl der €quatorflŠche An mit dem Faktor  multiplizieren. Es ist also:

 

                                                                                                               (4)

 

Die Tabelle 2 zeigt die ersten numerischen Werte.

 

n

Vn

3

6.928203232

4

5.333333333

5

4.843616854

6

4.618802155

7

4.494696444

8

4.418278001

Tab. 2: Numerische Volumenwerte

FŸr wachsende n strebt Vn gegen das Kugelvolumen 4.18879020478638. Die Konvergenz ist sehr langsam.

 

3.7    OberflŠche

FŸr die OberflŠche mŸssen wir mit den Abwicklungen arbeiten. Die Randkurven sind Sinuskurven mit der Amplitude . Daher ist die gesamte abgewickelte FlŠche und damit die OberflŠche Sn:

 

                                                                                                                 (5)

 

Man kann es auch so sagen: Die Ma§zahl der OberflŠche ist das Doppelte der Ma§zahl des Umfanges des dem KugelŠquator umbeschriebenen n-Eckes.

Die Tabelle 3 zeigt die ersten numerischen Werte.

 

n

Sn

3

20.78460970

4

16

5

14.53085056

6

13.85640646

7

13.48408933

8

13.25483400

Tab. 3: Numerische OberflŠchenwerte

FŸr wachsende n strebt Sn gegen die KugeloberflŠche 12.56637061435917. Die Konvergenz ist sehr langsam.

4     Zusammenfassung

Eine ¹-freie Volumenformel und eine ¹-freie OberflŠchenformel gibt es genau fŸr diejenigen n, fŸr welche das regelmŠ§ige n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Das sind die Fermatschen Primzahlen, Produkte von verschiedenen Fermatschen Primzahlen und Produkte dieser Zahlen mit Zweierpotenzen (Gau§).

Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal ermšglicht fŸr das dem KugelŠquator umbeschriebene n-Eck FlŠchen- und Umfangformeln mit WurzelausdrŸcken.

5     Modellbau

Wir bauen ein Modell fŸr n = 4.

Grundlage ist das Schnittmuster der Abbildung 14.

Im Anhang findet sich das Schnittmuster in grš§erem Format. Ebenso findet sich ein pdf mit dem Schnittmuster auf der Website.

Das Schnittmuster basiert auf der Abwicklung der Abbildung 3. Der Raster ist gršber gewŠhlt.

Abb. 14: Schnittmuster

Wir falten lŠngs einer Diagonalen und schneiden die schwarzen Linien im grŸnen Bereich bis zum Rot-GrŸn-Farbwechsel ein (Abb. 15).

Abb. 15: Falten und Einschneiden

Wir biegen jeden einzelnen doppellagigen grŸnen Streifen lŠngs des Rot-GrŸn-Farbwechsels ein (Abb. 16) und zurŸck, und dies auf beide Seiten.

Abb. 16: Einbiegen

Nun šffnen wir zum Quadrat, falten lŠngs der anderen Diagonalen und wiederholen dort das Prozedere des Einschneidens und Faltens.

Bei guter Vorbereitung kann nun das Modell fast automatisch im Raum realisiert werden (Abb. 17). Die obersten (lŠngsten) grŸnen Doppelstreifen werden mit BŸroklammern oder Leim fixiert.

Abb. 17: Modell

Die Abbildung 18 zeigt den andern Pol des Modells.

Abb. 18: Gegenpol

6     Origami

Geschickte Origami-Leute kšnnen aus dem Quadrat der Abbildung 14 beziehungsweise des Anhangs rein durch Falten ein Modell herstellen. Dazu mŸssen einerseits die Diagonalen gefaltet werden und andererseits je ein Bogen (also ãrundesÒ Falten) eines jeden BlŸtenblattes.

7     Link mit Kartografie

Die Abbildung 19 zeigt die Abwicklung mit Geodaten versehen. Im Zentrum ist der Nordpol. Die Kartenausschnitte sind adaptierte Mercator-Sanson Karten und daher flŠchenverhŠltnistreu (equivalent).

Im Anhang finden sich die Karten in grš§erem Format. Ebenso findet sich ein pdf mit den Karten auf der Website.

Abb. 19: Geodaten mit Nordpol im Zentrum

Die Abbildung 20 zeigt den zugehšrigen Pseudoglobus.

Abb. 20: Pseudoglobus

In der Abbildung 21 ist der SŸdpol im Zentrum.

Abb. 21: SŸdpol im Zentrum

8     Websites

Geodaten (01.08.2016):

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html

 

9     Anhang