Hans Walser, [20190523]

Rollkurven und Evolute

1     Worum geht es?

Verallgemeinerung der Kardioide und der zugehšrigen Evolute. Illustrationen.

2     Kardioide als Rollkurve

Wird auf einem Kreis ein gleich gro§er Kreis abgerollt, beschreibt ein Peripheriepunkt des rollenden Kreises relativ zum Koordinatensystem des Standkreises eine Kardioide (Abb. 1). Siehe auch Animation ăA1_KardioideŇ.

Abb. 1: Kardioide

3     Evolute der Kardioide

Abb. 2: Evolute der Kardioide

In der Abbildung 2 sind die Kurvennormalen der Kardioide eingezeichnet. Diese hźllen die Evolute der Kardioide ein. Die Animation ăA2_EvoluteŇ illustriert den Sachverhalt.

Die Evolute ist ebenfalls eine Kardioide, gegenźber der ursprźnglichen Kardioide mit dem Faktor ein Drittel verkleinert und um 180ˇ gedreht.

4     Folge von Evoluten

Wir kšnnen den Prozess des Evolutenbildens iterieren (Abb. 3).

Abb. 3: Folge von Evoluten

5     Kleinere Rollradien

Wenn wir den Radius des Rollkreises halbieren, ergeben sich zwei Spitzen nach innen, weil der Rollkreis doppelt so viele Drehungen braucht, um auf dem Standkreis abzurollen. Bei Dritteln des Rollradius ergeben sich drei Spitzen usw. (Abb. 4).

In der Animation ăA3_n_SpitzenŇ kann die Anzahl n der Spitzen an einem Schieber eingestellt werden.

Abb. 4: Mehrere Spitzen nach innen

6     Evoluten

Die Evoluten sind ebenfalls Rollkurven (Abb. 5 fźr n = 6).

Der Verkleinerungsfaktor ist  und der Verdrehungswinkel .

Abb. 5: Evolute

Entsprechend kann iteriert werden (Abb. 6).

Abb. 6: Iteration

7     Rationales

In ăA4_p_qŇ hat es zwei Schieber. Die Leserin mag selber herausfinden, was es damit auf sich hat. Die Abbildung 7 zeigt die Situation fźr p = 3 und q = 2.

Abb. 7: 3/2 ist rational

 

Weblinks

 

Hans Walser: Kardioide und regelmŠ§ige Vielecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide3/index.html

 

Hans Walser: Al-Sijizi

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html

 

Hans Walser: Die Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm

 

Hans Walser: Herzkurve als Enveloppe

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm

 

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

 

Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm

 

Hans Walser: Umkreis bei regelmŠ§igen Vielecken

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Umkreis/index.html