Hans Walser, [20210207]

Rhomben

1     Worum geht es?

Eine Schlie§ungsfigur mit Šhnlichen Rhomben

2     Schritt fźr Schritt

Wir zeichnen zwei Šhnliche rote Rhomben, welche eine spitze Ecke in U (U ist der Nullpunkt des x-y-Koordinatensystems) gemeinsam haben. Die €hnlichkeit der Rhomben legen wir durch das DiagonalenverhŠltnis v (kurze Diagonale zu lange Diagonale) fest.

Die Abbildung 1 zeigt die Situation fźr v = ½.

Abb. 1: Zwei Šhnliche Rhomben

Nun passen wir zwischen die stumpfen Ecken der roten Rhomben zwei weitere Rhomben (blau) ein, welche Šhnlich sind zu den roten (Abb. 2).

Abb. 2: Zwei weitere Rhomben

Die beiden neu eingefźgten Rhomben haben eine Ecke gemeinsam. Wir haben eine Schlie§ungsfigur. Die Schlie§ungsfigur ist struktursymmetrisch.

Natźrlich kšnnten wir auch zwei stumpfe Ecken in U legen und entsprechend dual weiterfahren.

3     Beweis

Der Beweis ist eine idyllische RechenaffŠre. Fźr den Start verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 3.

Abb. 3: Bezeichnungen

Die Situation der beiden Rhomben ist durch v sowie P1 und P2 gegeben. Wir setzen:

 

                                                           

 

Damit lassen sich die Koordinaten der Punkte Q1 und Q2 sowie R1 und R2 berechnen:

 

                                          

 

Nun setzen wir oben einen blauen Rhombus ein (Abb. 4).

Abb. 4: Eingesetzter Rhombus

Fźr die freien Ecken erhalten wir:

 

 

Wir hŠtten ebenso gut den unteren Rhombus einsetzen kšnnen (Abb. 5).

Abb. 5: Unterer Rhombus

Fźr dessen freie Ecken ergibt sich:

 

 

Wir sehen, dass S1 und S2 źbereistimmen. Damit ist die Schlie§ungseigenschaft gezeigt.

4     Iteration

Die Abbildung 6 zeigt eine Iteration des Vorgehens.

Abb. 6: Iteration

5     Details

Ohne Beweis einige weitere Eigenschaften.

Die beiden Diagonalen (Abb. 7) sind orthogonal. Ihr LŠngenverhŠltnis ist v.

Abb. 7: Diagonalen

Die beiden schwarzen Verbindungen der Gelenkpunkte (Abb. 8) sind gleich lang. Ihr Schnittwinkel ist gleich dem Rhombenwinkel.

Abb. 8: Verbindungslinien

Die Mittelpunkte der vier Rhomben sind Eckpunkte eines weiteren Rhombus (Abb. 9). Dieser ist Šhnlich zu den vier schon vorhandenen Rhomben.

Abb. 9: Weiterer Rhombus

Im Sonderfall v = 1 erhalten wir Quadrate (Abb. 10). In diesem Sonderfall ist die FlŠchensumme der roten Quadrate gleich der FlŠchensumme der blauen Quadrate.

Abb. 10: Quadrate