Hans Walser, [20180108a]

Rhomben

1     Worum geht es?

Auf der Basis eines Rhombus konstruieren wir mit Hilfe kongruenter rechtwinkliger Dreiecke einen neuen Rhombus.

2     Die Figur

Wir setzen einem Rhombus kongruente rechtwinklige Dreiecke zyklisch an (Abb. 1).

Abb. 1: Rhombus mit rechtwinkligen Dreiecken

Dann bilden die vier Ecken mit den rechten Winkeln ihrerseits einen Rhombus (Abb. 2).

Abb. 2: Zweiter Rhombus

3     Beweis

Wir bezeichnen die Dreiecke wie in der Schule źblich mit den Katheten a und b und den Winkeln  und . Es ist . Weiter sei  der spitze Winkel des Startrhombus (Abb. 3).

Abb. 3: Bezeichnungen

Damit haben die beiden orangen Dreiecke in der Abbildung 4 zwei Seiten a und b und dazwischen den Winkel .

Abb. 4: Beweisfigur

Die beiden grźnen Dreiecke haben ebenfalls zwei Seiten a und b. Der Winkel dazwischen ist:

 

                                         (1)

 

 

Damit sind die orangen und die grźnen Dreiecke kongruent. Das Viereck hat vier gleich lange Seiten und ist daher ein Rhombus.

Fźr die SeitenlŠnge d des neuen Rhombus erhalten wir:

 

                     (2)