Hans Walser, [20160106]
Reuleaux-Zweieck
Anregung: Renato Pandi
1 Worum geht es?
Es wird ein Beweis mit wenigen Worten und viel Bildern vorgestellt fźr den Sachverhalt, dass ein Zweieck mit 120ˇ-Winkeln in jeder Lage in ein gleichseitiges Dreieck passt.
2 Das Zweieck
Die Abbildung 1 zeigt ein Zweieck mit 120ˇ-Winkeln. Es ist aus zwei gestutzten Reuleaux-Dreiecken zusammengesetzt.
Abb. 1: Reuleaux-Zweieck mit 120ˇ-Winkeln
Die Abbildung 2 zeigt das Zweieck in einer speziellen und einer allgemeinen Lage im Dreieck.
Abb. 2: Einpass-Eigenschaft
3 Beweis der Einpass-Eigenschaft
Wir beginnen mit dem Zweieck in der speziellen Lage (Abbildung 2 links).
Eine der fundamentalen Ideen in der Mathematik besteht darin, ein Problem in ein źbergeordnetes einzubinden, darin die Lšsung sofort sichtbar wird. Daher binden wir das Dreieck mit dem Zweieck in spezieller Lage in ein regelmŠ§iges Sechseck ein gemŠ§ Abbildung 3. Jedes Zweieck liegt in seinem Dreieck.
ZusŠtzlich sind die relativ zum Sechseck jeweils innersten Punkte auf dem Innenrand der Zweieck blau markiert. Weiter ist ein lila Rhombus eingezeichnet. Dieser Rhombus wird im Folgenden eine Schlźsselrolle spielen.
Abb. 3: Im regelmŠ§igen Sechseck
Nun drehen die Zweiecke je um den blauen Punkt um einen beliebigen Winkel (Abbildung 4, es wurde um den Winkel 40ˇ gedreht).
Abb. 4: Gedrehte Zweiecke
Die gedrehten Zweiecke ragen aus dem eigenen Dreieck heraus ins Nachbardreieck. Es zeigt sich aber, dass jedes Zweieck die beiden benachbarten Zweiecke berźhrt. Die Berźhrungseigenschaft ergibt sich unmittelbar aus dem verformten lila Rhombus.
Weiter kšnnen wir nun kleine gleichseitige Abstandsdreiecke einpassen. In der Abbildung 5 sind diese blau markiert.
Abb. 5: Blaue Abstandsdreiecke
Nun verschieben wir jedes Zweieck rźckwŠrts um die SeitenlŠnge des Abstandsdreieckes parallel zur berźhrten Sechseckseite (Abb. 6).
Abb. 6: Zurźckschieben der Zweiecke
Damit kehrt jedes Zweieck in sein eigenes Dreieck zurźck und berźhrt dessen drei Seiten (Abb. 7).
Abb. 7: At home
Wir haben nun die Situation in allgemeiner Lage.
Literatur
Reuleaux, F. (1875): Lehrbuch der Kinematik.
Erster Band: Theoretische Kinematik. Braunschweig: Vieweg.
e-Version: https://ia700409.us.archive.org/29/items/lehrbuchderkine01reulgoog/lehrbuchderkine01reulgoog.pdf