Hans Walser, [20151227]

Reuleaux-Zweieck

Idee und Anregung: Renato Pandi

1     Das Reuleaux-Zweieck

Das Reulaux-Zweieck ist ein Kreisbogen-Zweieck mit 60ˇ-Winkeln (Abb. 1).

Abb. 1: Reuleaux-Zweieck

Fźr die folgenden †berlegungen arbeiten wir mit einem Reuleaux-Zweieck der SehnenlŠnge .

†ber Reuleaux-Zweiecke mit 120ˇ-Winkeln siehe (Reuleaux 1875, S. 120f).

2     Im gleichseitigen Dreieck

Ein Reuleaux-Zweieck der SehnenlŠnge  kann auf beliebig viele Arten in ein gleichseitiges Dreieck der SeitenlŠnge 1 gelegt werden. Dabei berźhrt es immer alle drei Seiten (Abb. 2a).

Abb. 2a: Reuleaux-Zweieck im Dreieck

Die Abbildung 2b zeigt mehrere Reuleux-Zweiecke im Dreieck. Die Zweiecke sind untereinander verdreht. Sie werden aber nicht im Dreieck abgerollt.

Abb. 2b: Reuleaux-Zweiecke im Dreieck

3     Zwischenbemerkung

Fźr das Reuleaux-Dreieck gilt ein analoger Sachverhalt, indem es auf beliebig viele Arten in ein Quadrat gelegt werden kann und immer alle vier Quadratseiten berźhrt.

4     Beweis

Fźr den Beweis gehen wir umgekehrt vor: Wir lassen ein Zweieck fest und umschreiben verschiedene kongruente gleichseitige Dreiecke.

Im Folgenden das schrittweise Vorgehen.

Wir beginnen mit einem Kreisbogen BC mit dem Zentrum A, dem Zentriwinkel 60ˇ und dem Radius . Dieser Bogen entspricht einem der beiden Au§enbogen des Reuleaux-Zweieckes.

Abb. 3: Start mit einem Kreisbogen

Wir zeichnen den Kreis durch die drei Punkte A, B und C (Abb. 4). Dieser Kreis ist Ortsbogen fźr Peripheriewinkel von 60ˇ źber jeder der drei Strecken AB, BC  und CA.

Abb. 4: Ortsbogen fźr 60ˇ

Auf dem Ortsbogen wŠhlen wir einen Punkt D gemŠ§ Abbildung 5.

Abb. 5: Punkt auf dem Ortsbogen

Wegen der Ortsbogeneigenschaft ist:

 

                                                                                                                   (1)

 

Und ebenso:

 

                                                                                                                   (2)

 

Wegen (2) kšnnen wir ein gleichseitiges Dreieck DEF der SeitenlŠnge 1 mit einer Seite durch B und einer Seite durch C einpassen (Abb. 6).

Abb. 6: Geleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck DEF ist:

 

                                                                                                                   (3)

 

Wegen (1) und (3) sind die Geraden AD und EF parallel. Die Breite des Parallelenstreifens ist die Hšhe des Dreiecks DEF, also . Das hei§t, dass der Lotfu§punkt G von A auf die Gerade EF auch auf dem Bogen BC liegt (Abb. 7).

Abb. 7: Streifenbreite

Somit berźhrt das zum Bogen BC gehšrende Reuleaux-Zweieck alle drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks. Dies war zu zeigen.

5     Mittelpunkt und Viertelpunkt

Die Abbildung 8 zeigt die Bahnkurve des Mittelpunktes eines Reuleaux-Zweieckes beim Abdrehen im Dreieck.

Abb. 8: Bahnkurve des Mittelpunktes

Die Abbildung 9 zeigt die Bahnkurve der beiden Viertelpunkte auf der Sehne des Reuleaux-Zweieckes.

Abb. 9: Viertelpunkt

6     Ausblick?

Die geneigte Leserin ist eingeladen zu prźfen, ob das fźr das Reuleaux-Viereck im regelmŠ§igen Fźnfeck auch hinhaut.

 

 

Literatur

Reuleaux, F. (1875): Lehrbuch der Kinematik. Braunschweig: Vieweg.
https://ia700409.us.archive.org/29/items/lehrbuchderkine01reulgoog/lehrbuchderkine01reulgoog.pdf