Hans Walser, [20161021]

Reflexion am Kreis

1     Erinnerung

Die Aufgabe ist so alt wie die Spiegelungsgeometrie. ãEin Reiter hat von A nach B zu reiten und mšchte dazwischen sein Ross am linearen Bache k trŠnkenÒ. Die optimale Lšsung mit der kŸrzesten gesamten WegelŠnge finden wir mit einer Spiegelung.

Abb. 1: Das Ross und der Reiter

2     Die Aufgabe mit dem Kreis

Wir ersetzen den Bach durch einen kreisrunden Teich (Abb. 2).

Abb. 2: Der Teich

Diese Aufgabe ist mir weder als SchŸler noch als Lehrer je begegnet. Offenbar ist sie mit konventionellen schulischen Methoden nicht lšsbar.

3     LšsungsansŠtze

Die folgenden Methoden sind Einschiebelšsungen. Also Suchlšsungen.

3.1    Winkelhalbierende

Wir verschieben den Punkt P auf dem Kreis k so, dass die beiden in der Abbildung 3 angegebenen Winkel  und  gleich gro§ werden.

Abb. 3: Gleiche Winkel

Handwerkliches: Wir zeigen die Differenz der beiden Winkel an, zoomen bei P hinein und verschieben P, bis die Differenz hinreichend nach bei null ist.

3.2    Ellipse

Wir wŠhlen einen Punkt P auf k und zeichnen die Ellipse mit den Brennpunkten A und B durch P (Abb. 4). Q sei der zweite Schnittpunkt der Ellipse mit k.

Abb. 4: Ellipse

Dann verschieben wir den Punkt P auf k bis Q und P zusammenfallen (Abb. 5). Dies liefert die Lšsung.

Abb. 5: Zusammenfallende Schnittpunkte

3.3    Analysis

Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem, in welchem der Kreis k der Einheitskreis ist. Den Punkt P parametrisieren wir mit P(cos(t), sin(t)). Wir beschreiben die gesamte WegelŠnge als Funktion von t:

 

                   (1)

 

FŸr diese Funktion suchen wir die Extremstellen.

Es kann bis zu vier verschiedene Lšsungen geben.

Neben den Minimallšsungen gibt es auch Maximallšsungen. Diese kšnnen ebenfalls als Reflexion am Kreis verstanden werden.

Die Abbildung 6 gibt einige Beispiele.

 

 

 

Abb. 6: Beispiele