Hans Walser, [20180703]

Rechter Winkel?

1     Worum geht es?

Es wird eine Vermutung um einen Schnittwinkel untersucht, die sich als falsch erweist.

2     Tangenskurve und gespiegelte Sinuskurve

Die Abbildung 1 zeigt die Tangenskurve und die gespiegelte Sinuskurve. Sie schneiden sich im Ursprung unter einem rechten Winkel.

Abb. 1: Tangenskurve und gespiegelte Sinuskurve

3     Verschieben der gespiegelten Sinuskurve

Die Frage ist, ob der rechte Winkel erhalten bleibt, wenn wir die gespiegelte Sinuskurve vertikal verschieben (Abb. 2).

Abb. 2: Verschieben der gespiegelten Sinuskurven

4     Schnittwinkel

Die Tabelle 1 zeigt die Schnittwinkel fźr einige Verschiebungen nach oben.

 

n

Verschiebung

Schnittwinkel

0

0

90ˇ

1

0.2621786898

90.24611987ˇ

2

0.5267682375

90.99178088ˇ

3

0.7968969950

92.25168311ˇ

4

1.077350269

94.02349700ˇ

5

1.376088417

96.24014145ˇ

6

1.707106781

98.69933846ˇ

7

2.096578713

100.9972166ˇ

8

2.598076212

102.5288077ˇ

9

3.338093094

102.6094721ˇ

10

4.697976634

100.6784547ˇ

11

8.587198980

96.46049889ˇ

Tab. 1: Schnittwinkel

Die Winkel werden grš§er als 90ˇ. Allerdings nehmen sie dann wieder ab und im Grenzfall  haben wir wieder einen rechten Winkel.

Die Abbildung 3 zeigt den Winkel in ˇ in AbhŠngigkeit von der Verschiebung.

Abb. 3: Verschiebung und Winkel

Die Abbildung 4 zeigt einen grš§eren Verschiebungsausschnitt.

Abb. 4: Grš§erer Ausschnitt

5     Winkelberechnung

Mit t0 bezeichnen wir die x-Koordinate des Schnittpunktes. Der Schnittpunkt S hat damit die Koordinaten:

 

                                                                                                                   (1)

 

 

Um diesen Schnittpunkt zu erhalten, benštigen wir fźr die gespiegelte Sinuskurve die Verschiebung d:

 

                                                                                                           (2)

 

 

Die Tangenskurve hat im Schnittpunkt S den Richtungsvektor :

 

                                                                                                              (3)

 

 

 

Die gespiegelte Sinuskurve hat im Schnittpunkt S den Richtungsvektor :

 

                                                                                                           (4)

 

 

 

Fźr den Schnittwinkel  der beiden Vektoren erhalten wir:

 

                                                                                 (5)

 

 

 

Der Schnittwinkel  ist also kein konstanter rechter Winkel.