Hans Walser, [20180725]
Quadratur des Siebenecks
Die Quadratur des Kreises ist nicht mšglich (Lindemann, 1882). Das regelmŠ§ige Siebeneck lŠsst sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren (Gau§, 1796).
Nach einem Satz von Hilbert gibt es fŸr ein regelmŠ§iges Siebeneck und ein flŠchengleiches Quadrat (Abb. 1) eine gemeinsame Zerlegung.
Abb. 1: RegelmŠ§iges Siebeneck und flŠchengleiches Quadrat
Der Umkreisradius r des Siebenecks und die SeitenlŠnge s des flŠchengleichen Quadrates verhalten sich wie:
(1)
Im Folgenden vier Beispiele. Welches ist das schšnste?
Abb. 2: Beispiel 1
Man beachte das neckische kleine schwarze Dreieck, das sich bei den Siebeneck-Ecken und beispielsweise links oben beim Quadrat findet. Es ist von Auge fast nicht sichtbar, gehšrt aber zur Familie. Die Abbildung 3 gibt die SchlŸsselfigur zu diesem Beispiel.
Abb. 3: SchlŸsselfigur zum Beispiel 1
Abb. 4: Beispiel 2
Abb. 5: SchlŸsselfigur zum Beispiel 2
Abb. 6: Beispiel 3
Abb. 7: SchlŸsselfigur zum Beispiel 3
Abb. 8: Beispiel 4
Abb. 9: SchlŸsselfigur zum Beispiel 4
Die an sich unterschiedlichen Beispiele sind alle nach demselben Verfahren gebaut. Ein Sektordreieck wird zerlegungsmŠ§ig auf ein Rechteck abgebildet und dieses auf ein entsprechendes Anteilrechteck des Quadrates.
Wir kšnnen im Prinzip alle regelmŠ§igen Vielecke auf diese Weise zerlegungsgleich zu einem Quadrat machen.
Die Abbildung 10 zeigt exemplarisch die Quadratur des Quadrates, die Abbildung 11 die zugehšrige SchlŸsselfigur.
Abb. 10: Quadratur des Quadrates
Abb. 11: SchlŸsselfigur
WŠre das auch einfacher gegangen?
Weblinks
[1] Hans Walser: Zwšlfeck (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck/Zwoelfeck.htm
[2] Hans Walser: Zwšlfeck 2 (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck2/Zwoelfeck2.htm
[3] Hans Walser: ZwšlfecksflŠche (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfecksflaeche/Zwoelfecksflaeche.htm
[4] Hans Walser: Zwšlfeck und Rechteck (abgerufen 20.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck_u_Rechteck/Zwoelfeck_u_Rechteck.htm
[5] Hans Walser: Zwšlfeck und Quadrat (abgerufen 25.07.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zwoelfeck_u_Quadrat/Zwoelfeck_u_Quadrat.htm