Hans Walser, [20150440]

Quadratunterteilung

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

Die Abbildung 1 zeigt das unterteilte Quadrat.

Es ist eine infinite Unterteilung.

Wie gro§ sind die einzelnen Farbanteile?

 

Abb. 1: Unterteiltes Quadrat

 

Mit Hilfe der Beziehung

 

lassen sich die Farbanteile rechnerisch bestimmen.

Es geht aber auch mit geometrischen †berlegungen.

In der Abbildung 2 ist ein schrŠger Streifen eingezeichnet. Der FlŠcheninhalt des Streifens ist die HŠlfte der QuadratflŠche. Innerhalb des Streifens gibt es zu jedem roten Dreieck ein flŠchengleiches gelbes Dreieck. Der rote und auch der gelbe FlŠchenanteil innerhalb des Streifens sind also je ein Viertel der QuadratflŠche.

 

Abb. 2: SchrŠger Streifen

 

Das gelbe Dreieck oberhalb des Streifens hat auch einen Viertel der QuadratflŠche.

Somit ist der gelbe Anteil genau die HŠlfte der QuadratflŠche.

Der nicht gelbe Anteil macht also insgesamt die andere HŠlfte der QuadratflŠche aus.

Nun arbeiten wir mit dem Viertelquadrat links unten (Abb. 3). Dieses Viertelquadrat ist im Wesentlichen eine Kopie des Ausgangsquadrates.

 

Abb. 3: Viertelquadrat

 

Im schrŠgen Streifen in diesem Viertelquadrat macht der rote Anteil einen Viertel der ViertelquadratflŠche aus also  der ursprŸnglichen QuadratflŠche. Das rote rechtwinklige Dreieck unten rechts ist ebenfalls  der ursprŸnglichen QuadratflŠche. Somit erhalten wir fŸr den gesamten roten Anteil  der ursprŸnglichen QuadratflŠche.

Der anschlie§ende magenta Anteil ist eine lŠngenmŠ§ig halbierte Kopie des roten Anteils und daher flŠchenmŠ§ig  der ursprŸnglichen QuadratflŠche.

So geht das weiter.

Kontrolle fŸr den nicht gelben Anteil: