Hans Walser, [20160631]

Quadratsummen-Spirale

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Worum geht es?

Wir zeichnen mit rechtwinkligen Dreiecken eine eckige Spirale gemŠ§ Abbildung 1. Die roten Katheten haben der Reihe nach die LŠngen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... .

Abb. 1: Die ersten sieben Schritte

Die Abbildung 2 zeigt die ersten 200 Schritte. Was fŸr eine Spirale ist das?

Abb. 2: Spirale

Eine archimedische Spirale kann es nicht sein, da die AbstŠnde zwischen den SpiralendurchgŠngen wachsen.

FŸr eine logarithmische Spirale wachsen aber diese AbstŠnde zu wenig rasch.

2     SpeichenlŠngen

Wir berechnen die blauen SpeichenlŠngen rn (Abb. 3, Tab. 1)

Abb. 3: SpeichenlŠngen

 

n

rn

Radikand

1

1 = 12

2

5 = 12 + 22

3

14 = 12 + 22 + 32

4

30 = 12 + 22 + 32 + 42

Tab. 1: SpeichenlŠngen

Es ist:

 

                                                                         (1)

 

 

Daher der Name ãQuadratsummen-SpiraleÒ.

3     Typ der Spirale

Mit  bezeichnen wir den spitzen Winkel der rechtwinkligen Dreiecke im Zentrum (Abb. 3). Es ist:

 

                                                                                                       (2)

 

 

Nun Ÿberlegen wir, was ãjanz weit au§enÒ, also fŸr gro§e n geschieht. ZunŠchst ist:

 

                                                                                                     (3)

 

 

Weiter ist:

 

                                                                                                   (4)

 

 

Wir betrachten nun n als reelle Variable und berechnen den Polarwinkel t in AbhŠngigkeit von n.

 

                                                         (5)

 

 

Somit ist:

 

                                                                                                                  (6)

 

 

Dies setzen wir in (3) ein:

 

                                                             (7)

 

 

Unsere Spirale ist also im Wesentlichen vom Typ:

 

                                                                                                           (8)

 

 

Es handelt sich um eine kubische Spirale.

Leider lŠsst sich die kubische Spirale nicht so leicht manipulieren wie die logarithmische Spirale. Insbesondere hat die kubische Spirale keine Drehstrecksymmetrie.

In den beiden folgenden Abbildungen sind die Parameter a und b jeweils so gewŠhlt worden, dass die kubische Spirale (magenta) durch die beiden letzten Eckpunkte der roten eckigen Spirale verlŠuft. FŸr die Ÿbrigen Eckpunkte der roten Spirale gilt die kubische Spirale nur nŠherungsweise.

In der Abbildung 4 sind die ersten sieben Schritte gezeichnet.

Abb. 4: Die ersten sieben Schritte

Die Abbildung 5 zeigt die ersten 200 Schritte mit der kubischen Spirale. Die Approximation ist so gut, dass die ursprŸngliche eckige Spirale zugedeckt wird.

Abb. 5: Spiralen