Hans Walser, [20190627]

Quibla

Anregung: Vortrag von Ph. U.,  F.

1   Worum geht es?

Berechnung der Quibla, das hei§t der Richtung des Gro§kreisbogens nach Mekka.

2   Daten und Bezeichnungen

Kaaba in Mekka, Koordinaten: 21¡ 25Õ 21ÕÕ N, 39¡ 49Õ 34ÕÕ E

Umrechnung ins Bogenma§: 0.37389316 N, 0.69509677 E

Standortkoordinaten: phi, lambda

3   SphŠrisches Dreieck

Wir arbeiten mit dem sphŠrischen Dreieck ABC, wobei:

A = Standort

B = Kaaba in Mekka

C = Nordpol

Die Abbildung 1 skizziert die Situation.

Abb. 1: Situation

Aus den geografischen Breiten von Mekka und dem Standort lassen sich a und b berechnen (ErgŠnzung auf ¹/2). Die Differenz der geografischen LŠngen ergibt .

Gesucht ist .

4   SphŠrische Trigonometrie

Die passende Formel (siehe Formelsammlung) ist:

 

                                

 

 

 

Dies kann umgeformt werden zu:

 

                                      

 

 

 

5   Beispiele

Die Richtung wird auf einem Kompass angegeben.

5.1  SaarbrŸcken

Koordinaten: 49.256577 N, 7.045378 E

Wir erhalten das Azimut 125.1277¡ (Abb. 2).

Abb. 2: SaarbrŸcken

5.2  Gleiche geografische Breite wie Mekka

Koordinaten: 21¡ 25Õ 21ÕÕ N, 10¡ 49Õ 34ÕÕ E

Wir erhalten das Azimut 84.6040¡ (Abb. 3). Die Richtung geht also nicht genau nach Osten, sondern ãoben durchÒ. Genau nach Osten wŠre ein Breitenkreis, aber kein Gro§kreis.

                    Abb. 3: Gleiche geografische Breite wie Mekka       

5.3  …stlich von Mekka

Harwan Garden, Koordinaten: 34¡09'34.9"N 74¡54'13.8"E. Wir befinden uns nšrdlich und šstlich von Mekka.

Wir erhalten aber formelmŠ§ig das Azimut 76.7934¡ (Abb. 4).

Abb. 4: …stlich von Mekka?

Das irritiert, denn der grŸne Pfeil sollte nach Westen zeigen. Wir sind hier in der klassischen Tangensfalle. Der Tangens und der Kotangens haben einen sehr eingeschrŠnkten BijektivitŠtsbereich. Man muss mit Zusatzbedingungen (Vorzeichen) allenfalls 180¡ addieren. Man kann es aber auch so sehen: Es wird hier der gro§e Gro§kreisbogen, also der  ãhintenherumÒ, gewŠhlt.

6   Zeichnerische Lšsung

6.1    In der stereografischen Projektion

Auf einer Karte in stereografischer Projektion kann die Qibla bestimmt werden wie folgt (Abb. 5).

Abb. 5: Grafische Bestimmung

á            Diametraler Punkt zu Mekka (im Prinzip Spiegelung am Hauptkreis, aber auf die andere Seite)

á            (Planimetrischer) Kreis durch Standort, Mekka und diametralen Punkt von Mekka. Dies ist das stereografische Bild des gesuchten Gro§kreises.

á            Da die stereografische Projektion winkeltreu (conformal) ist, kann der Winkel zum Meridian durch den Standort abgelesen werden. 

6.2  Ohne Karte

Das Kartenbild ist nicht erforderlich. Bei Kenntnis von phi und lambda kann die Position in der stereografischen Projektion gemŠ§ Abbildung 6 eingezeichnet werden.

Abb. 6: Konstruktion in der stereografischen Projektion

7   Formeln der sphŠrischen Geometrie

7.1  SphŠrische Dreiecke und Vielecke

 

 

 

 

 

 

 

7.2  SphŠrische Trigonometrie

Seiten-Cosinus-Satz

 

 

 

 

 

Winkel-Cosinus-Satz

 

 

 

 


 

Sinus-Satz

 

 

 

 

Cotangens-Satz, erste Gruppe

 

 

 

 

 

Cotangens-Satz, zweite Gruppe

 

 

 

 


 

7.3  SphŠrischer Pythagoras

 

 

 

 

 

Websites

Kartenprojektionen

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html