Hans Walser, [20200804], [20200808]

Pythagoreische Spiralen

1   Worum geht es?

Eckige logarithmische Spiralen im Dreieck und im Sechseck mit rationaler GesamtlŠnge im Vergleich zur SeitenlŠnge. Geometrische Folgen und Reihen. Pythagoreische 60ˇ- und 120ˇ-Dreiecke.

2   Im gleichseitigen Dreieck

2.1  Das klassische Beispiel

Wir legen in jede Ecke ein lŠngenmŠ§ig halb so gro§es Dreieck (Abb. 1a). Dann iterieren wir den Prozess mit dem in der Mitte źbrig bleibenden Dreieck.

Abb. 1: Kantenmitten

Die rot eingezeichnete eckige logarithmische Spirale ist genau gleich lang wie die Dreiecksseite. Warum?

Natźrlich hŠtten wir die Spirale auch anders herum zeichnen kšnnen(Abb. 2).

Abb. 2: Blaue Spirale

2.2  Pythagoreisches 60ˇ-Dreieck

Das Dreieck mit den Seiten a1 = 3, b = 8 und c = 7 hat den Winkel  (Abb. 3a). (Der Index 1 bei a wird nachfolgend erklŠrt.) Dies kann mit dem Kosinus-Satz verifiziert werden:

 

                                                                               (1)

 

 

 

 

 

Abb. 3: Pythagoreisches 60ˇ-Dreieck

Dreiecke mit ganzzahligen SeitenlŠngen und einem Winkel von 60ˇ hei§en pythagoreische 60ˇ-Dreiecke.

Wir kšnnen drei solche Dreiecke in je eine Ecke eines gleichseitigen Dreiecks platzieren gemŠ§ Abbildung 3b und 4a.

Abb. 4: Pythagoreische Spirale

Die Startstrecke der roten Spirale misst  der Dreiecksseite. Die StreckenlŠngen bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Dies ist das VerhŠltnis der SeitenlŠngen zweier aufeinanderfolgender Dreiecke. Fźr die GesamtlŠnge der roten Spirale relativ zur SeitenlŠnge erhalten wir damit:

 

                                                                                                           (2)

 

 

 

 

Es gibt in der Figur einen weiteren Spiralentyp (Abb. 5).

Abb. 5: Blaue Spirale

Die GesamtlŠnge der blauen Spirale relativ zur Dreiecksseite ist:

 

                                                                                                         (3)

 

 

 

 

2.3  Noch ein Beispiel

Das Dreieck mit den Seiten a2 = 5, b = 8 und c = 7 hat ebenfalls den Winkel  (Abb. 6a). Dies kann mit dem Kosinus-Satz verifiziert werden:

 

                                                                               (4)

 

 

 

 

 

Abb. 6: Pythagoreisches 60ˇ-Dreieck

Interessant ist, dass wir zwei verschiedene Beispiele haben, nŠmlich a1 = 3, b = 8, c = 7 und a2 = 5, b = 8, c = 7, die sich in nur einer Seite unterscheiden und trotzdem je einen Winkel  haben. Wenn wir das eine Dreieck spiegeln, ergŠnzt es sich mit dem anderen zum gleichseitigen Dreieck (Abb. 7).

Abb. 7: ErgŠnzungsdreiecke

Durch Iteration der Abbildung 6b erhalten wir zwei Spiralentypen (Abb. 8).

Abb. 8: Spiralen

Fźr die GesamtlŠnge der roten Spirale relativ zur SeitenlŠnge erhalten wir:

 

                                                                                                         (5)

 

 

 

 

Fźr die GesamtlŠnge der blauen Spirale relativ zur SeitenlŠnge entsprechend:

 

                                                                                                       (6)

 

 

 

 

2.4  Allgemein

Abb. 9: Allgemein

Mit den Bezeichnungen der Abbildung 9 erhalten wir allgemein fźr die SpiralenlŠngen relativ zur Dreiecksseite:

 

                                               (7)

 

 

 

 

Bei Verwendung eines pythagoreischen 60ˇ-Dreieckes sind die SpiralenlŠngen relativ zur Dreiecksseite rational.

Die Tabelle 1 gibt die ersten Beispiele.

 

u

v

a1

a2

b

c

s1,rot

s1,blau

s2,rot

s2,blau

1

0

1

0

1

1

1

1

2

1

3

5

8

7

3/4

2

5/6

4/3

3

1

8

7

15

13

4/5

3/2

7/9

5/3

3

2

5

16

21

19

5/7

3

8/9

7/6

4

3

7

33

40

37

7/10

4

11/12

10/9

5

1

24

11

35

31

6/7

5/4

11/15

7/3

5

3

16

39

55

49

8/11

5/2

13/15

11/9

5

4

9

56

65

61

9/13

5

14/15

13/12

6

1

35

13

48

43

7/8

6/5

13/18

8/3

6

5

11

85

96

91

11/16

6

17/18

16/15

7

2

45

32

77

67

9/11

7/5

16/21

11/6

7

3

40

51

91

79

10/13

7/4

17/21

13/9

7

5

24

95

119

109

12/17

7/2

19/21

17/15

7

6

13

120

133

127

13/19

7

20/21

19/18

8

1

63

17

80

73

9/10

8/7

17/24

10/3

8

3

55

57

112

97

11/14

8/5

19/24

14/9

8

7

15

161

176

169

15/22

8

23/24

22/21

9

1

80

19

99

91

10/11

9/8

19/27

11/3

9

2

77

40

117

103

11/13

9/7

20/27

13/6

9

4

65

88

153

133

13/17

9/5

22/27

17/12

9

5

56

115

171

151

14/19

9/4

23/27

19/15

9

7

32

175

207

193

16/23

9/2

25/27

23/21

9

8

17

208

225

217

17/25

9

26/27

25/24

10

3

91

69

160

139

13/16

10/7

23/30

16/9

10

9

19

261

280

271

19/28

10

29/30

28/27

Tab. 1: Beispiele im Dreieck

Offenbar gibt es fźr jede natźrliche Zahl eine passende blaue Spirale.

Die Abbildung 10b zeigt die Spirale, die gleich lang ist wie der Umfang des Dreieckes.

Abb. 10: SpiralenlŠnge = Dreiecksumfang

3   Im regelmŠ§igen Sechseck

Wir arbeiten mit pythagoreischen Dreiecken mit dem Winkel . Das einfachste Beispiel hat die Seiten a = 3, b = 5 und c = 7 (Abb. 11).

Abb. 11: Pythagoreisches 120ˇ-Dreieck

Abb. 12: Pythagoreische Spiralen

Fźr die SpiralenlŠngen kšnnen die Formeln (7) verwendet werden. Die rote Spirale (Abb. 12a) hat relativ zur SeitenlŠnge des Sechseckes die SpiralenlŠnge 3, die blaue Spirale (Abb. 12b) die LŠnge 5.

Die Tabelle 2 gibt weitere Beispiele.

 

u

v

a

b

c

srot

sblau

2

1

3

5

7

3

5

3

1

8

7

13

4

7/2

3

2

5

16

19

5/2

8

4

3

7

33

37

7/3

11

5

1

24

11

31

6

11/4

5

3

16

39

49

8/3

13/2

5

4

9

56

61

9/4

14

6

1

35

13

43

7

13/5

6

5

11

85

91

11/5

17

7

2

45

32

67

9/2

16/5

7

3

40

51

79

10/3

17/4

7

5

24

95

109

12/5

19/2

7

6

13

120

127

13/6

20

8

1

63

17

73

9

17/7

8

3

55

57

97

11/3

19/5

8

7

15

161

169

15/7

23

9

1

80

19

91

10

19/8

9

2

77

40

103

11/2

20/7

9

4

65

88

133

13/4

22/5

9

5

56

115

151

14/5

23/4

9

7

32

175

193

16/7

25/2

9

8

17

208

217

17/8

26

10

3

91

69

139

13/3

23/7

10

9

19

261

271

19/9

29

Tab. 2: Beispiele im Sechseck

 

Websites

Hans Walser: Spiralen im regelmŠ§igen Vieleck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Spiralen_reg_Vieleck/Spiralen_reg_Vieleck.htm

Hans Walser: Pythagoreische Spiralen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoreische_Spiralen/Pythagoreische_Spiralen.htm

Hans Walser: Pythagoreische 60ˇ- und 120ˇ-Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth-60-Dreiecke/Pyth-60-Dreiecke.htm