Hans Walser, [20200802]

Pythagoreische Spiralen

1     Worum geht es?

Eckige logarithmische Spiralen im Quadrat mit rationaler GesamtlŠnge im Vergleich zur Quadratseite. Geometrische Folgen und Reihen. Pythagoreische Dreiecke

2     Beispiel

Wir legen vier Dreiecke (eines davon gelb) mit dem SeitenverhŠltnis a:b:c = 3:4:5 in ein Quadrat gemŠ§ Abbildung 1a.

Abb. 1: Dreieck und Spirale

In der Mitte bleibt ein quadratisches Loch. Dieses fŸllen wir mit einer geeignet verkleinerten und verdrehten Kopie der Startfigur. Iteration des Prozesses fŸhrt auf eine Spirale (Abb. 1b).

a) Wie lang ist die rote Spirale im Vergleich zur Quadratseite?

b) Wie gro§ ist der FlŠchenanteil der gelben Spirale an der QuadratflŠche?

Die rote Kathete in der Abbildung 1a ist  der Quadratseite. Die roten Katheten in der Abbildung 1b bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Daraus ergibt sich fŸr die LŠnge s der roten Spirale:

 

                                                                                                                   (1)

 

 

 

 

Das gelbe Dreieck in der Abbildung 1a hat den Anteil  der QuadratflŠche. Die FlŠcheninhalte der Dreiecke der Abbildung 1b bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Daraus ergibt sich fŸr den FlŠcheninhalt A der gelben Spirale:

 

                                                                                                       (2)

 

 

 

 

Das hŠtten wir allerdings billiger haben kšnnen: Wir haben insgesamt vier kongruente Spiralen im Quadrat (Abb. 2).

Abb. 2: Vier Spiralen

Wir hŠtten mit derselben Startsituation der Abbildung 1a auch andersherum wirtschaften kšnnen (Abb. 3). Man beachte, dass das geometrische GrundgerŸst (schwarze Linien) in den Abbildungen 1 und 3 Ÿbereinstimmt.

Abb. 3: Zweite Spirale

FŸr die blaue Spirale erhalten wir analog zu (1) die LŠnge s = 2 Quadratseiten. Man kann auch direkt Ÿberlegen, dass die blaue Kathete  der roten misst.

3     Allgemein

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis a:b:c erhalten wir fŸr die rote Spirale (gebildet aus den Katheten a) die LŠnge:

 

                                                                                                                   (3)

 

 

 

 

FŸr die blaue Spirale (gebildet aus den Katheten b) ergibt sich entsprechend:

 

                                                                                                                   (4)

 

 

 

 

Bei rationalen Katheten sind die SpirallŠngen wegen der Quadratwurzel fŸr die Hypotenuse in der Regel irrational. Eine Ausnahme bilden wie in unserem EinfŸhrungsbeispiel die pythagoreischen Dreiecke.

4     Pythagoreische Dreiecke

Die Tabelle 1 gibt eine Auflistung der ersten pythagoreischen Dreiecke nach der Ÿblichen u,v-Parametrisierung zusammen mit den SpiralenlŠngen sa und sb relativ zur Quadratseite.

In der Spalte von sb finden wir die ganzzahligen Vielfachen der Quadratseite.

 

u

v

a

b

c

sa

sb

2

1

3

4

5

3/2

2

3

2

5

12

13

5/4

3

4

1

15

8

17

5/2

4/3

4

3

7

24

25

7/6

4

5

2

21

20

29

7/4

5/3

5

4

9

40

41

9/8

5

6

1

35

12

37

7/2

6/5

6

5

11

60

61

11/10

6

7

2

45

28

53

9/4

7/5

7

4

33

56

65

11/8

7/3

7

6

13

84

85

13/12

7

8

1

63

16

65

9/2

8/7

8

3

55

48

73

11/6

8/5

8

5

39

80

89

13/10

8/3

8

7

15

112

113

15/14

8

9

2

77

36

85

11/4

9/7

9

4

65

72

97

13/8

9/5

9

8

17

144

145

17/16

9

10

1

99

20

101

11/2

10/9

10

3

91

60

109

13/6

10/7

10

7

51

140

149

17/14

10/3

10

9

19

180

181

19/18

10

11

2

117

44

125

13/4

11/9

11

4

105

88

137

15/8

11/7

11

6

85

132

157

17/12

11/5

11

8

57

176

185

19/16

11/3

11

10

21

220

221

21/20

11

12

1

143

24

145

13/2

12/11

12

5

119

120

169

17/10

12/7

12

7

95

168

193

19/14

12/5

12

11

23

264

265

23/22

12

Tab. 1: SpiralenlŠngen

Die Abbildung 4a zeigt das letzte Beispiel der Tabelle (u  = 12, v = 11, sb = 12). ZunŠchst meinen wir, da sei etwas mit der gelben Spirale schief gelaufen. Das ist aber nur, weil wir die blaue Spirale zunŠchst nicht so richtig sehen. In der Abbildung 4b diese krŠftiger gezeichnet.

Abb. 4: Letztes Beispiel

 

Websites

Hans Walser: Spiralen im regelmŠ§igen Vieleck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Spiralen_reg_Vieleck/Spiralen_reg_Vieleck.htm