Hans Walser, [20161208]
Pythagoras und Fibonacci
Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen
1 Worum geht es?
Wir finden die Fibonacci-Zahlen in einem speziellen Pythagoras-Baum
2 Der Pythagoras-Baum
Wir arbeiten mit einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten:
(1)
Die Kathete a und die Hypotenuse c stehen im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes. Die Kathete b ist das geometrische Mittel von a und c.
Die Abbildung 1 gibt die Idee des zum Dreieck gehšrenden Pythagoras-Baumes. Die €ste beginnen sich ab der fźnften Generation zu źberlappen.
Abb. 1: Pythagoras-Baum
In diesem Baum erkennen wir gleich gro§e Quadrate. So ist zum Beispiel das zweite Quadrat links im linken Ast gleich gro§ wie das erste Quadrat im rechten Ast. Die Stimmigkeit dieser Feststellung ergibt sich aus (1).
3 Quadrate gleicher Grš§e
Im reduzierten (um †berlappungen mšglichst zu vermeiden) Beispiel der Abbildung 2 sind Quadrate gleicher Grš§e gleich gefŠrbt.
Abb. 2: Gleiche Grš§e in gleicher Farbe
Wir sortieren der Grš§e nach (Tab. 1).
|
Farbe |
Anzahl |
|
rot |
1 |
|
grźn |
1 |
|
blau |
2 |
|
hellblau |
3 |
|
magenta |
5 |
|
orange |
8 |
Tab. 1: Farbe und Anzahl
Wir erkennen die Fibonacci-Zahlen.
Beweis induktiv.
Wir kšnnen auch die gelben rechtwinkligen Dreiecke der Grš§e nach sortieren und erhalten ebenfalls die Fibonacci-Zahlen.
4 Goldenes Rechteck
Die Abbildung 3 zeigt die Spirale, welche entsteht, wenn wir im Baum sukzessive nach rechts gehen.
Abb. 3: Spirale
Die Folge der hier erscheinenden Quadrate kšnnen wir zum Goldenen Rechteck zusammenklappen (Abb. 4).
Abb. 4: Goldenes Rechteck
Literatur
Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.