Hans Walser, [20130729b]

Pythagoras mit Dreiecken

1        Worum es geht

Den Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes setzen wir regelmŠ§ige Dreiecke auf (Abb. 1) und suchen eine passende Zerlegung fŸr die FlŠchengleichheit.

Abb. 1: Grau + Orange = Braun

2        Bezeichnungen

Wir bezeichnen die drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks so, dass . Es ist dann .

Bei der Farbgebung wurde versucht, mit mšglichst wenigen Farben auszukommen, aber doch die Symmetrien mšglichst zu wahren.


3        Allgemeiner Fall

FŸr den allgemeinen Fall mŸssen wir unterscheiden zwischen  (ãkleinesÒ rechtwinkliges Dreieck, Abbildung 2) und  (ãgro§esÒ rechtwinkliges Dreieck, Abbildung 3). Den †bergangsfall  behandeln wir unter den SonderfŠllen.

3.1      Kleines rechtwinkliges Dreieck

Abb. 2: Kleines rechtwinkliges Dreieck

Wir benštigen insgesamt sieben Puzzle-Teile, aber nur drei verschiedene Formen.

An den inneren Grenzpunkten der Puzzle-Teile kommen immer drei Teile (drei Farben) zusammen.


3.2      Gro§es rechtwinkliges Dreieck

FŸr  wird das Dreieck an der Kathete a zu sperrig. Wir mŸssen Ecken abschneiden.

Abb. 3: Gro§es rechtwinkliges Dreieck

4        SonderfŠlle

4.1      Neckischer Fall

Einen neckischen Sonderfall erhalten wir mit  (Abb. 4). Es ist dann . Im gleichseitigen Dreieck auf der Hypotenuse c haben wir nur Grenzpunkte, bei denen vier Teile, also auch vier Farben, zusammenkommen.

Abb. 4: Neckischer Sonderfall

Dieser Sonderfall erlaubt eine Variante (Abb. 5).

Abb. 5: Variante

4.2      †bergangsfall

Im oben erwŠhnten †bergangsfall ist  (Abb. 6). Das rechtwinklige Dreieck ist ein halbes gleichseitiges Dreieck.

Abb. 6: †bergangsfall


4.3      Halbes DIN-Rechteck

Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis . ZunŠchst lŠsst sich das kleinere Kathetendreieck so in das Hypotenusendreieck einpassen, dass die Seiten des Kathetendreiecks orthogonal zu denen des Hypotnusendreiecks werden (Abb. 7).

Abb. 7: Einpassen des Kathetendreiecks

Es bleiben drei Dreiecke mit Winkeln 30¡-60¡-90¡ Ÿbrig. DafŸr muss eine schšne gemeinsame Zerlegung mit dem gro§en Kathetenquadrat gefunden werden, eine Aufgabe, die sich als nicht so einfach erwies. Die Abbildung 8 zeigt eine symmetrische Lšsung.

Abb. 8: Symmetrische Lšsung

4.4      Pythagoreische Dreiecke

Bei pythagoreischen Dreiecken gibt es immer die Lšsung, alle Dreiecke mit einem regulŠren Dreiecksraster zu fŸllen. Die Abbildung 9 zeigt dies am Beispiel des Lehrerdreiecks mit dem SeitenverhŠltnis . Die Herausforderung besteht nur noch darin, die Farben regelmŠ§ig zu verteilen.

Abb. 9: Pythagoreisches Dreieck

NatŸrlich kšnnen Dreiecke zu grš§eren Puzzle-Teilen zusammengefasst werden (Abb. 10).

Abb. 10: Grš§ere Puzzle-Teile

Wird auf Symmetrie verzichtet, reichen noch weniger Teile (Abb. 11).

Abb. 11: Ohne Symmetrie

4.5      Gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck

Abb. 12: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck