Hans Walser, [20210404]
Pythagoreische Dreiecke
Geometrischer Zugang zu den pythagoreischen Dreiecken.
Der klassische Zugang zu den primitiven (Seiten teilerfremd) pythagoreischen Dreiecken geht rechnerisch. Wir wŠhlen die beiden Parameter u und v mit folgenden Bedingungen: u > v, u, v teilerfremd und u – v ungerade. Dann sind
(1)
die Seiten eines primitiven pythagoreischen Dreieckes. Umgekehrt lŠsst sich jedes primitive pythagoreische Dreieck auf diese Weise parametrisieren.
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte.
u |
v |
a |
b |
c |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
4 |
1 |
15 |
8 |
17 |
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
5 |
2 |
21 |
20 |
41 |
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
Tab. 1: Pythagoreische Tripel
Fźr u = 2 und v = 1 ergibt sich das pythagoreische Dreieck mit den Seiten a = 3, b = 4 und c = 5. Wir konstruieren nun ein Dreieck mit diesem SeitenverhŠltnis wie folgt.
Wir zeichnen zunŠchst ein rechtwinkliges Dreieck mit den bieden KathetenlŠngen u = 2 und v = 1 in der Disposition der Abbildung 1a. Die lange Kathete u steht senkrecht, die kurze Kathete v schaut nach rechts.
Abb. 1: Beispiel
Nun ergŠnzen wir dieses Dreieck mit Hilfe der Mittelsenkrechten der Hypotenuse zu einem gleichschenkligen Dreieck (Abb. 1b). Das ErgŠnzungsdreieck hat das SeitenverhŠltnis 3:4:5, ist also ein zu u = 2 und v = 1 gehšrendes pythagoreisches Dreieck gemŠ§ Tabelle 1.
Wir arbeiten in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Bezeichnungen der Abbildung 2.
Abb. 3: Beweisfigur
Fźr die Mittelsenkrechte h erhalten wir die Gleichung:
(2)
Diese Gerade h hat die Nullstelle:
(3)
Somit hat die Strecke aŐ die LŠnge:
(4)
Es ist also:
(5)
Dies war zu zeigen.
Bemerkung: Die Hšhe h des gleichschenkligen Dreieckes ist:
(6)
Literatur
Baptist, Peter (1982): Inkreisradius und pythagoreische Zahlentripel. Praxis der Mathematik, 24, 161-164.
Dickson, Leonard Eugene (1920): History of the Theory of Numbers, II. Diophantine Analysis. Washington: Carnegie Institution.
Dickson, Leonard Eugene (1966): History of the Theory of Numbers; vol II. New York: Chelsea.
Foster, Colin (2016): Proof Without Words: Integer Right Triangle Hypotenuses Without Pythagoras. The College Mathematics Journal. Vol. 47, No. 2, March 2016, 101.
Sierpiński, Wacław (1962): Pythagorean Triangles. Trans. A. Sharma. Yeshiva Univ., New York, 1962. Reprinted by Dover, Minneola, NY, 2003.
Websites
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke3/Pyth_Dreiecke3.htm
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke3/Pyth_Dreiecke3.pdf
Hans Walser: Pythagorean Traingles
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagorean_Triangles/Pythagorean_Triangles.htm
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagorean_Triangles/Pythagorean_Triangles.pdf
Hans Walser: Pythagoreische 60ˇ- und 120ˇ-Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth-60-Dreiecke/Pyth-60-Dreiecke.htm
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth-60-Dreiecke/Pyth-60-Dreiecke.pdf
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke/Pyth_Dreiecke.htm
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Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke2/Pyth_Dreiecke2.htm
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Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke falten
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dr_falten/Pyth_Dr_falten.htm
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dr_falten/Pyth_Dr_falten.pdf