Hans Walser, [20080331b]
Punktraster
Wir arbeiten mit einem regulŠren Quadratraster oder Dreiecksraster.
Quadratraster
und Dreiecksraster
Auf dieses Raster wenden darauf eine affine Abbildung an. Bildraster und Ursprungsraster werden Ÿberlagert dargestellt.
Eine
kleine Translation fŸhrt zu einem Schatten.
Schatten
Eine
kleine Drehung wird sichtbar.
Kleine
Drehung
Wir
stellen uns Urbildraster und Bildraster in parallelen, senkrecht stehenden
Ebenen vor. Wenn wir das aus einem gewissen Abstand ansehen, erkennen wir
infolge der Perspektive ein neues Muster. In den folgenden Figuren befinden wir
uns vier mal den Abstand der beiden Ebenen vor der vorderen Ebene. Die vorderen
Punkte sind entsprechend grš§er gezeichnet. Die Punkte sind durchscheinend gezeichnet.
Die †berlagerung von blau und rot ergibt magenta. Wir erkennen ein
Quadratraster und ein Dreiecksraster aus Ÿberlagerten Punkten.
Perspektive
Perspektive
Bei einer
Drehung um 45¡ ergibt sich au§erhalb des Drehzentrums keine exakte †berlagerung
von Punkten der beiden Raster, auch wenn es fast so aussieht. Das liegt daran,
dass eine irrationale
Zahl ist.
Drehung um
45¡
Weitere
exakte †berlagerungen ergibt es, wenn wir noch eine Streckung einbauen mit
einem Faktor, welcher enthŠlt. Im
folgenden Beispiel ist der Streckfaktor . Wir sehen ein quadratisches †berlagerungsraster, welches
bezogen auf das ursprŸngliche blaue Raster die Maschenweite 3 hat. Bezogen auf
das rote Raster ist die DiagonalenlŠnge der Maschen nun 4.
Drehung
mit kleiner Streckung. Streckfaktor
Direkt
mit dem Streckfaktor ergibt sich:
Streckfaktor
Den
analogen Effekt erhalten wir, wenn wir das Dreiecksraster um einen Rasterpunkt
um 30¡ drehen.
Drehung um
30¡
Bei einer
Streckung um , also etwa um 1%, gibt es au§erhalb des Zentrums exakte
†berlagerungen — wo sind diese?
Drehung
und kleine Streckung. Streckfaktor
Es geht
aber bereits mit dem — allerdings grš§eren — Streckfaktor .
Streckfaktor
Kšnnen
wir auch ohne Streckung, also mit einer reinen Drehung, exakte †berlagerungen
erhalten? Im folgenden Bild ist der Drehwinkel .
Drehwinkel
Wir
erkennen ein schrŠg liegendes quadratisches †berlagerungsraster mit Maschenweite
und einer
Steigung gegenŸber der
Horizontalen. Was steckt dahinter?
Wir alle
kennen das rechtwinklige Dreieck mit den KathetenlŠngen und sowie der
HypotenusenlŠnge . Der Witz ist, dass die HypotenusenlŠnge c ebenfalls ganzzahlig ist, was bei beliebigen rechtwinkligen Dreiecken
in der Regel nicht der Fall ist. Solche spezielle rechtwinklige Dreiecke mit
ganzzahligen KathetenlŠngen und ganzzahliger HypotenusenlŠnge hei§en pythagoreische
Dreiecke.
Unser Drehwinkel
ist aber der
Winkel dieses Dreieckes
mit den KathetenlŠngen und sowie der
HypotenusenlŠnge . In der Tat kšnnen wir ein solches Dreieck in unser Raster
einpassen.
Pythagoreisches
Dreieck 3:4:5
Die
Kathete a ist horizontal und misst 3 Einheiten im
blauen Raster, die Kathete b ist vertikal und misst
4 Einheiten ebenfalls im blauen Raster, wŠhrend die schrŠge Hypotenuse 5
Einheiten im roten Raster misst. Da wir aber nur gedreht und nicht gestreckt haben,
sind die Maschenweiten in beiden Rastern gleich.
Wir
sehen, dass auch In- und Umkreis des Dreieckes durch mehrere Rasterpunkte verlaufen.
Wir
kšnnen auch noch ein drittes Raster ins Spiel bringen, indem wir das rote
Raster um drehen. Das Bild
davon ist in der folgenden Figur grŸn gezeichnet.
Drei
Raster
Die
exakten †berlagerungen aller drei Raster bilden ein schrŠg liegendes Quadratraster
der Maschenweite 5 (dies ist im roten Raster nachprŸfbar). Dieses neue Raster
hat die Steigung .
Somit ist
das Hypotenusenquadrat des rechtwinkligen Dreieckes ein Rasterquadrat dieses
neuen Rasters. SelbstverstŠndlich passt es auch in das rote Raster, da wir ein
pythagoreisches Dreieck haben. Die beiden Kathetenquadrate passen in das
ursprŸngliche blaue Raster.
Hypotenusenquadrat
Erinnerung:
Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der beiden blauen QuadratflŠchen
gleich der roten QuadratflŠche.
Im nŠchst
grš§eren pythagoreischen Dreieck ist , und . Wir arbeiten den Drehwinkel .
Pythagoreisches
Dreieck 5:12:13
Das schrŠg liegende quadratische †berlagerungsraster hat die Machenweite und die Steigung (vgl. [Walser 1995], [Walser 1999], [Walser 2000]).
Das
Analogon zu den pythagoreischen Dreiecken im Dreiecksraster sind Dreiecke mit
ganzzahligen Seiten a, b, c und einem Winkel . Aus dem Kosinussatz gilt dann die Beziehung:
Das
einfachste Beispiel dazu ist das Dreieck mit den Seiten , und . Dieses hat den Winkel . Im folgenden Bild die beiden Raster bei einer Drehung um .
Drehung um
Wir sehen
ein schrŠg liegendes Dreiecksraster mit der Maschenweite .
Im
folgenden Bild ist auch das zugehšrige ãpythagoreischeÒ Dreieck eingezeichnet.
ãPythagoreischesÒ
Dreieck
Die
Seiten a und b messen 3
beziehungsweise 5 Einheiten im blauen Raster, die Seite c misst 7 Einheiten im gedrehten roten Raster.
Wenn wir
nochmals drehen und ein drittes Raster zeichnen (grŸn), ergibt sich folgendes
Bild.
Drei
Raster
Wir
erkennen deutlich ein Dreiecksraster, das aus der exakten †berlagerung der drei
Raster besteht.
Das gibt
Anlass zur folgenden Figur. Wir setzen jeder Seite des ursprŸnglichen Dreieckes
ein gleichseitiges Dreieck auf.
Aufgesetzte
gleichseitige Dreiecke
Das
erinnert irgendwie an die Figur des Pythagoras. TatsŠchlich gilt auch hier eine
FlŠchenbeziehung: Die Summe der beiden blauen DreiecksflŠchen plus die FlŠche
des ursprŸnglichen (grŸnen) Dreieckes ist gleich der roten DreiecksflŠche.
Dies kann
mit dem Kosinussatz bewiesen werden oder einfacher, indem wir die beiden blauen
Dreiecke flŠchengleich umformen.
Beweisfigur
Durch
eine kleine Drehstreckung entsteht der Eindruck eines Wirbels. Im folgenden
Beispiel ist der Drehwinkel und der
Streckfaktor .
Wirbel
Durch
geeignete Wahl der Drehstreckung ergeben sich rasterfšrmig angeordnete Wirbel.
Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor
Mehrere
Wirbelzentren
Im
Dreiecksraster zunŠchst ein gewšhnlicher Wirbelsturm. Im folgenden Beispiel ist
der Drehwinkel und der Streckfaktor
.
Sturm im
Wasserglas
Auch hier
sind mehrere Zentren mšglich. Im folgenden Beispiel ist der Drehwinkel und der Streckfaktor
.
Mehrere
Wirbelzentren
Literatur
[Walser 1995] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, Seiten 193 - 205.
[Walser 1999] Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. BeitrŠge zum Mathematikunterricht 1999. VortrŠge auf der 33. Tagung fŸr Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. FŸr die GDM herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker, 1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577
[Walser 2000] Walser,
Hans: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM Zentralblatt fŸr Didaktik
der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000, Heft 2, S. 32 - 35