Hans Walser, [20210925]

Propeller

1     Worum geht es?

Kinematische Geometrie

2     Propeller

Wird ein Propeller um seinen Mittelpunkt gedreht (Abb. 1), beschreiben die Endpunkte natürlich einen Kreis. Denkt man.

Abb. 1: Propeller

Es kann aber auch anders aussehen (Abb. 2).

Abb. 2: Dreispitz

Der Witz der Sache ist, dass das Zeichenpapier gleichzeitig mit der Propellerdrehung um den roten Punkt gedreht wird. Allerdings langsamer als der Propeller. Wir haben das Drehverhältnis (Frequenzverhältnis) Propeller : Dreispitz = 3 : 2.

3     Weitere Beispiele

Es gibt ungezählte weitere Beispiele. Im Folgenden eine kleine Auswahl.

Das einfachste Beispiel ist das orthogonale Kreuz (Abb. 3). Es ergibt sich unmittelbar aus der Idee des Thaleskreises. Das Frequenzverhältnis ist 2 : 1.

Abb. 3: Kreuz

Die Abbildung 4 zeigt ein orthogonales Ellipsenpaar.

Abb. 4: Ellipsenpaar

Die Abbildung 5 zeigt eine fünfteilige Rosette.

Abb. 5: Rosette

Die Rosette kann auch neunteilig sein (Abb. 6).

Abb. 6: Neunteilige Rosette

Auch ein gotischer Siebenpass ist möglich (Abb. 7).

Abb. 7: Siebenpass

Und die Kardioide kommt auch vor (Abb. 8).

Abb. 8: Kardioide

4     Formeln

Die Bahnkurven haben als Standbilder folgende Parameterdarstellung:

 

(1)                                                                                           Kurve(cos(-n t) + R cos(k t), sin(-n t) + R sin(k t), t, 0, 2π)

 

Also:

 

(2)                                                                                          

 

Dabei sind R der Propellerradius und n und k ganze Zahlen. Das Frequenzverhältnis ist (n + k) : n.

Die gezeigten Beispiele sind mit den Daten der Tabelle 1 gezeichnet.

 

Abbildung

R

k

n

2

2

2

4

3

1

2

2

4

2

1

1

5

1

1

4

6

1

5

4

7

8

–1

8

8

2

–2

4

Tab. 1: Daten für die Beispiele

Die Bahnkurven sind die Überlagerung von zwei Kreisbewegungen.

5     Ausblick

Der Propeller ist nur die Spitze des Eisbergs. Wir können den Propeller durch ein regelmäßiges Vieleck ersetzen. Die Abbildung 9 zeigt ein regelmäßiges Fünfeck in einer siebenteiligen Rosette.

Abb. 9: Fünfeck statt Propeller

 

Websites

Hans Walser: Al-Sijizi
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Hans Walser: Die Herzkurve und die Möndchen des Hippokrates
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Hans Walser: Herzkurve als Enveloppe
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Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
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Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt
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Hans Walser: Kardioide und regelmäßige Vielecke
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