Hans Walser, [20210918]

Prim-Logarithmus

0    Worum geht es?

Primzahlbasierter Logarithmus

1    Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl

Wir ordnen die Primzahlen der Größe nach:

 

                                                                    (1)

 

Eine beliebige natürliche Zahl  können wir in Primfaktoren zerlegen:

 

                                                                           (2)

 

Die Exponenten  legen die Zahl  eindeutig fest (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Dabei ist  der Index der größten vorkommenden Primzahl.

2    Beispiele

Die Zahl 12 hat die Primfaktorzerlegung:

 

                                                                                       (3)

 

Die Tabelle 1 zeigt die ersten Beispiele.

 

Primfaktor

2

3

5

7

11

13

17

19

Exponent

1

0

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

3

0

1

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

5

0

0

1

 

 

 

 

 

6

1

1

 

 

 

 

 

 

7

0

0

0

1

 

 

 

 

8

3

 

 

 

 

 

 

 

9

0

2

 

 

 

 

 

 

10

1

0

1

 

 

 

 

 

11

0

0

0

0

1

 

 

 

12

2

1

 

 

 

 

 

 

13

0

0

0

0

0

1

 

 

14

1

0

0

1

 

 

 

 

15

0

1

1

 

 

 

 

 

16

4

 

 

 

 

 

 

 

17

0

0

0

0

0

0

1

 

18

1

2

 

 

 

 

 

 

19

0

0

0

0

0

0

0

1

20

2

0

1

 

 

 

 

 

180

2

2

1

 

 

 

 

 

Tab. 1: Exponenten der Primfaktoren

3    Schlüssel

Position und Größe der Exponenten können als Schlüssel dargestellt werden (Abb. 1).

 

Abb. 1: Schlüssel

Die Abbildung 2 zeigt die ersten 100 Schlüssel.

Abb. 2: 100 Schlüssel

4    Prim-Logarithmus

Wir definieren den Prim-Logarithmus  einer natürlichen Zahl  als die (endliche) Folge  der Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung. Beispiele:

 

                                                                                                           (4)

 

5    Rechnen mit Prim-Logarithmen

Wir können die Multiplikation durch Additionen ersetzen. Wir erklären das Vorgehen einem Beispiel. Wir möchten die Rechnung  ohne Multiplikation durchführen. Dazu verlängern wir die Exponentenfolgen durch Einsetzen von Nullen am rechten Ende auf die maximal vorkommende Länge. In  unserem Beispiel:

 

                                                                                                             (5)

 

Nun addieren wir die Folgen elementweise:

 

                                      (6)

 

Allgemein gilt:

 

                                                                                               (7)

 

Das Pluszeichen meint hier die Addition der Folgen.

Analog gilt:

 

                                                                                                   (8)

 

                                                                                                             (9)

 

                                                                                                          (10)

 

6    Positive rationale Zahlen

Es ist:

 

                                                                                                               (11)

 

Daraus ergibt sich:

 

                                                                                                     (12)

 

Wir können entsprechend alle positiven rationalen Zahlen durch einen Prim-Logarithmus ausdrücken. Dabei erscheinen negative Exponenten.

7    Algebraische Zahlen

Es ist:

 

                                                                                       (13)

 

Somit ist:

 

                                                                                                (14)

 

Es erscheinen Brüche.

8    Vertracktes

Kombination mit transzendent irrationalen Zahlen:

 

                                             (15)