Hans Walser, [20210918]
Prim-Logarithmus
Primzahlbasierter Logarithmus
Wir ordnen die Primzahlen der Größe nach:
(1)
Eine beliebige natürliche Zahl können wir in Primfaktoren zerlegen:
(2)
Die Exponenten legen die Zahl eindeutig fest (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Dabei ist der Index der größten vorkommenden Primzahl.
Die Zahl 12 hat die Primfaktorzerlegung:
(3)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Beispiele.
Primfaktor |
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19 |
Exponent |
|
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|
|
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|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
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|
|
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|
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
6 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
8 |
3 |
|
|
|
|
|
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|
9 |
0 |
2 |
|
|
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|
|
|
10 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
12 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
14 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
15 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
18 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
20 |
2 |
0 |
1 |
|
|
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|
180 |
2 |
2 |
1 |
|
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Tab. 1: Exponenten der Primfaktoren
Position und Größe der Exponenten können als Schlüssel dargestellt werden (Abb. 1).
Abb. 1: Schlüssel
Die Abbildung 2 zeigt die ersten 100 Schlüssel.
Abb. 2: 100 Schlüssel
Wir definieren den Prim-Logarithmus einer natürlichen Zahl als die (endliche) Folge der Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung. Beispiele:
(4)
Wir können die Multiplikation durch Additionen ersetzen. Wir erklären das Vorgehen einem Beispiel. Wir möchten die Rechnung ohne Multiplikation durchführen. Dazu verlängern wir die Exponentenfolgen durch Einsetzen von Nullen am rechten Ende auf die maximal vorkommende Länge. In unserem Beispiel:
(5)
Nun addieren wir die Folgen elementweise:
(6)
Allgemein gilt:
(7)
Das Pluszeichen meint hier die Addition der Folgen.
Analog gilt:
(8)
(9)
(10)
Es ist:
(11)
Daraus ergibt sich:
(12)
Wir können entsprechend alle positiven rationalen Zahlen durch einen Prim-Logarithmus ausdrücken. Dabei erscheinen negative Exponenten.
Es ist:
(13)
Somit ist:
(14)
Es erscheinen Brüche.
Kombination mit transzendent irrationalen Zahlen:
(15)