Hans Walser, [20230714]
Perfekt zerlegbar
Anregung: Müller 2013, S. 53, Bild 32
Zerlegung eines Viereckes in eine ungerade Anzahl dazu ähnliche, aber untereinander nicht kongruente Teilvierecke.
Die Abbildung 1 zeigt die Zerlegung eines Viereckes (grün) in drei dazu ähnliche, aber untereinander nicht kongruente Teilvierecke.
Abb. 1: Zerlegung des grünen Viereckes
In den Abbildungen 2 und 3 sind die Vierecke so angeordnet, dass die Ähnlichkeit plausibel erscheint.
Abb. 2: Anordnung einzeln
Abb. 3: Anordnung überlagert
Wir ergänzen das Viereck zu einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck und normieren die Kathetenlänge auf 1. Für das rote Viereck verwenden wir die Bezeichnungen der Abbildung 4.
Abb. 4: Bezeichnungen
Auf Grund der Ähnlichkeit folgen die Streckenlängen der Abbildung 5. Der Verkleinerungsfaktor von einem Viereck auf das nächste ist jeweils b.
Abb. 5: Hier fängt das Rechnen an
Aus der Abbildung 5 lesen wir folgende Bedingungen ab:
Dieses Gleichungssystem habe ich mit CAS bearbeitet.
Die exakte Lösung enthält Wurzeln (Nullstellen) von Polynomen vierten Grades:
a = -(sqrt(2)*RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^3 - RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^2 - 2)/(RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^2*sqrt(2) + RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1) + sqrt(2))
b = RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)
c = (-2*RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^3 + sqrt(2) - RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1))/(RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1)^2*sqrt(2) + RootOf(-sqrt(2)*_Z^3 + _Z^4 - sqrt(2)*_Z + 1, index = 1) + sqrt(2))
Die für unser Problem relevanten numerischen Lösungen sind:
a = 0.8259837264, b = 0.5882298352, c = 0.1681173887
Die Abbildung 6 zeigt die Zerlegung eines Viereckes (grün) in fünf dazu ähnliche, aber untereinander nicht kongruente Teilvierecke. Das grüne Viereck ist verschieden vom grünen Viereck der Abbildungen 1 bis 3.
Abb. 6: Zerlegung des grünen Viereckes
In den Abbildungen 7 und 8 sind die Vierecke so angeordnet, dass die Ähnlichkeit plausibel erscheint.
Abb. 7: Alli mini Entli
Abb. 8: Anordnung überlagert
Die Abbildung 9 gibt die Grundlagen für die rechnerische Behandlung. Es ist eine Systematik ersichtlich.
Abb. 9: Berechnung
Die numerischen Lösungen sind:
a = 0.7682176172, b = 0.6459959450, c = 0.08642377287
Die Abbildung 10 zeigt die Situation für die ersten ungeraden Zahlen. Die Vierecke nähern sich rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecken an.
Abb. 10: Animation
Literatur
Müller, Carsten (2013): 50 Jahre Spezi in Jena.
Ein mathematischer Blick auf eine ganz SPEZIelle
Schule. BoD – Books on Demand GmbH. Norderstedt. ISBN
978-3-7322-2973-4.