Hans Walser, [20191105]

ParitŠt

Anregung: Satz von Eddy

1   Worum geht es?

Geometrisches Problem zum Thema ParitŠt.

2   Problemstellung

Ist folgende Aussage wahr?

Jede Gerade durch den Schwerpunkt eines regelmŠ§igen n-Eckes halbiert dieses flŠchenmŠ§ig.

3   Antwort

Richtig fŸr gerades n, falsch fŸr ungerades n.

4   Bearbeitung

4.1  Gerades n

Punktsymmetrie. Die beiden Teile sind nicht nur flŠchenmŠ§ig gleich gro§, sondern sogar kongruent.

4.2  Ungerades n

ZunŠchst ein exemplarisches Gegenbeispiel. Wir unterteilen ein gleichseitiges Dreieck in 9 kongruente Teildreiecke (Abb. 1). Die senkrechte Symmetrieachse halbiert das Dreieck flŠchenmŠ§ig. Bei der waagerechten Geraden durch den Schwerpunkt haben wir oben vier Teile und unten fŸnf Teile.

Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck

Nun zur allgemeinen Situation mit ungerader Eckenzahl. Die Abbildung 2 zeigt zwar die Situation fŸr das regelmŠ§ige FŸnfeck, die †berlegungen dazu gelten aber fŸr alle regelmŠ§igen Vielecke ungerader Eckenzahl u > 1.

Wir setzen das Vieleck bodenstŠndig, das hei§t mit einer horizontalen Seite unten und einer Spitze oben.

Abb. 2: Ungerade Eckenzahl

Die Symmetrieachse durch die Spitze halbiert das Vieleck flŠchenmŠ§ig (Axialsymmetrie). Die HŠlfte rechts von der Symmetrieachse fŠrben wir gelb. Nun drehen wir diese Symmetrieachse um den Schwerpunkt um einen kleinen Winkel . Die gelbe FlŠche wird um das grŸne StŸck (oben) grš§er und um das rote StŸck (unten) kleiner. Da das rote StŸck kleiner ist als das grŸne StŸck, haben wir auf der gelben Seite einen Nettozuwachs und auf der anderen Seite einen entsprechenden Verlust. Die gedrehte Gerade halbiert also das Vieleck nicht mehr.

Hintergrund: Ein regelmŠ§iges Vieleck gerader Eckenzahl ist punktsymmetrisch (wie die Gerade), bei ungerader Eckenzahl haben wir keine Punktsymmetrie.

5   Erweiterung

5.1  Die k-Spinne

Unter der k-Spinne verstehen wir eine Figur aus k > 1 vom selben Punkt (Zentrum) ausgehenden Strahlen, welche regelmŠ§ige Winkel  einschlie§en (Abb. 3).

FŸr k = 2 erhalten wir die punktierte Gerade, fŸr k = 3 den Mercedes-Stern, fŸr k = 4 das orthogonale Kreuz.

Abb. 3: k-Spinnen

5.2  RegelmŠ§iges Vieleck und Spinne

Wir setzen nun das Zentrum einer k-Spinne in den Schwerpunkt eines regelmŠ§igen n-Eckes.

Es gilt:

Genau wenn k ² n ein Teiler von n ist, zerlegt zu diesem k jede k-Spinne das regelmŠ§ige n-Eck in k flŠchengleiche (sogar kongruente) Teile.

Beweis im Prinzip analog zu oben. Statt mit Punktsymmetrien mŸssen wir mit Drehsymmetrien arbeiten.

Die Abbildung 4 zeigt eine 3-Spinne, die ein regelmŠ§iges Hexagon in drei kongruente Teile zerlegt.

Abb. 4: Hexagonzerlegung

Noch offen ist die Frage, was geschieht, wenn n < k ist, aber n ein Teiler von k.

Dazu Gegenbeispiele.

FŸr n = 3 und k = 6 (Abb. 5) gibt es zwar einen symmetrischen Fall mit Zerlegung in 6 kongruente Teile. Verdrehen der 6-Spinne fŸhrt aber zu Zerlegungen mit nicht kongruenten Teilen.

Abb. 5: Zerlegung in kongruente Teile und in nicht kongruente Teile

FŸr n = 3 und k = 9 gibt es keine Zerlegung in 9 kongruente Teile (Abb. 6).

Abb. 6: Keine Zerlegung in kongruente Teile

Websites

Hans Walser: Eddy

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eddy/Eddy.htm

Hans Walser: Eddy

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eddy2/index.html