Hans Walser, [20130912a]

Hyperbolisches Paraboloid und die Ableitung der Quadratfunktion

1        Worum geht es?

Anhand eines rŠumlichen Hyperbolischen Paraboloid-Modells wird die Ableitung der Quadratfunktion hergeleitet.

2        Das hyperbolische Paraboloid

Beat lernt in der Schule, dass durch die Gleichung  ein hyperbolisches Paraboloid beschrieben wird (Abb. 1).

Abb. 1: Hyperbolisches Paraboloid


3        Parabeln als Konturlinien

Sofort sieht er, dass es in der Ebene  eine nach oben offene Parabel gibt (Abb. 2). Die Parabel hat die Gleichungen .

Abb. 2: Konturparabel


Entsprechend gibt es eine nach unten offene Parabel mit den Gleichungen  und  (Abb. 3).

 

Abb. 3: Untere Konturparabel


In der Abbildung 4 sind die beiden Parabeln schwarz eingezeichnet.

Abb. 4: Die beiden Parabeln


4        Das Modell

Nun denkt sich Beat folgendes Modell aus: Er biegt zwei Lochstreifen parabelfšrmig und schraubt sie in der Mitte orthogonal zusammen so dass eine Parabel nach oben und die andere nach unten offen ist. Dann verbindet er mit BindfŠden (Abb. 5).

Abb. 5: Modell von Beat


Die Abbildung 6 zeigt einen elektronischen Nachbau des Modells.

Abb. 6: Modell von Beat


5        Die Ableitung

Die Abbildung 7 zeigt wiederum die obere Profilparabel.

Abb. 7: Profilparabel

Nun interpretiert Beat die Figur zweidimensional in einem x,z-Koordinatensystem. Die blauen und gelben BindfŠden sind offensichtlich Tangenten an die Parabel . Die Tangente im BerŸhrpunkt  schneidet die z-Achse aus SymmetriegrŸnden im Punkt . Sie hat also die Steigung . Daraus ergibt sich, dass die Funktion  die Ableitung  hat.