Hans Walser, [20040509a], [20151011]

Ortskreise

1        Worum es geht

Es soll eine Schar von Ortskreisen źber den Punkten  und  generiert werden.

1.1      Einfachste Parametrisierung

In der folgenden Parametrisierung ist a der Scharparameter und t der Kurvenparameter.

                                             (1)

 

 

 

Die Abbildung 1 zeigt diese Version.

 

Abb. 1: Einfache Parametrisierung

 

Durch die Vertauschung von t und a erhalten wir die Situation der Abbildung 2.

 

Abb. 2: Vertauschung der Parameter

 

Die Abbildung 3 zeigt das Netz. Es ist nicht orthogonal, schon gar nicht konform.

 

Abb. 3: Netz

 

1.2      Komplexer Tangens

Wir verwenden die Parametrisierung:

                                     (2)

 

 

 

Damit erhalten wir die Situation der Abbildung 4.

 

Abb. 4: Andere Parametrisierung

 

Durch die Vertauschung von t und a erhalten wir wiederum Kreise, es sind dies die Apolloniuskreise.

 

 

Abb. 5: Apolloniuskreise

 

Die Abbildung 6 zeigt das Netz:

 

Abb. 6: Netz

 

Es handelt sich um ein konformes Netz, nŠmlich um das Netz der komplexen Tangensfunktion.

Kontrolle mit Maple:

 

restart:

with(plots): with(plottools):

conformal(z, z=-Pi/2-I*Pi/2..Pi/2+I*Pi/2, grid=[37,37], scaling = constrained, tickmarks=[spacing(Pi/4, 0),spacing(Pi/4, 0)], color=[red, blue]);

conformal(tan(z), z=-Pi/2-I*Pi/2..Pi/2+I*Pi/2, grid=[37,37], scaling = constrained, color=[red, blue], numxy=[400,400], view=[-3..3,-3..3]);

 

      

Abb. 7: Netz der konformen Tangensfunktion

 

Berechnung von Real- und ImaginŠrteil:

 

restart:

z:=a+I*t;

w:=tan(z);

x:=evalc(Re(w));

y:=evalc(Im(w));

 

Abb. 8: Berechnung von Real- und ImaginŠrteil

 

1.3      Etwas einfachere Parametrisierung

Wir verwenden die Parametrisierung:

                                             (3)

 

 

 

Diese Parametrisierung ergibt sich aus der Parametrisierung (2) źber die komplexe Tangensfunktion durch Verdoppeln der Parameter.

Damit erhalten wir die Situation der Abbildung 9.

 

Abb. 9: Ortsbogen zum Dritten

 

Die Abbildung 10 zeigt die Apolloniuskreise, die Abbildung 11 das Netz.

 

Abb. 10: Apolloniuskreise

 

Abb. 11: Netz