Hans Walser, [20040509a], [20151011]
Ortskreise
Es soll eine Schar von Ortskreisen źber den Punkten und generiert werden.
In der folgenden Parametrisierung ist a der Scharparameter und t der Kurvenparameter.
(1)
Die Abbildung 1 zeigt diese Version.
Abb. 1: Einfache Parametrisierung
Durch die Vertauschung von t und a erhalten wir die Situation der Abbildung 2.
Abb. 2: Vertauschung der Parameter
Die Abbildung 3 zeigt das Netz. Es ist nicht orthogonal, schon gar nicht konform.
Abb. 3: Netz
Wir verwenden die Parametrisierung:
(2)
Damit erhalten wir die Situation der Abbildung 4.
Abb. 4: Andere Parametrisierung
Durch die Vertauschung von t und a erhalten wir wiederum Kreise, es sind dies die Apolloniuskreise.
Abb. 5: Apolloniuskreise
Die Abbildung 6 zeigt das Netz:
Abb. 6: Netz
Es handelt sich um ein konformes Netz, nŠmlich um das Netz der komplexen Tangensfunktion.
Kontrolle mit Maple:
restart:
with(plots): with(plottools):
conformal(z, z=-Pi/2-I*Pi/2..Pi/2+I*Pi/2, grid=[37,37], scaling =
constrained, tickmarks=[spacing(Pi/4, 0),spacing(Pi/4, 0)], color=[red, blue]);
conformal(tan(z), z=-Pi/2-I*Pi/2..Pi/2+I*Pi/2, grid=[37,37], scaling
= constrained, color=[red, blue], numxy=[400,400], view=[-3..3,-3..3]);
Abb. 7: Netz der konformen Tangensfunktion
Berechnung von Real- und ImaginŠrteil:
restart:
z:=a+I*t;
w:=tan(z);
x:=evalc(Re(w));
y:=evalc(Im(w));
Abb. 8: Berechnung von Real- und ImaginŠrteil
Wir verwenden die Parametrisierung:
(3)
Diese Parametrisierung ergibt sich aus der Parametrisierung (2) źber die komplexe Tangensfunktion durch Verdoppeln der Parameter.
Damit erhalten wir die Situation der Abbildung 9.
Abb. 9: Ortsbogen zum Dritten
Die Abbildung 10 zeigt die Apolloniuskreise, die Abbildung 11 das Netz.
Abb. 10: Apolloniuskreise
Abb. 11: Netz