Hans Walser, [20090120a]

Orthogonale Diagonalen

1        Worum es geht

In einem Viereck mit den Seiten a, b, c, d  sind die Diagonalen genau dann orthogonal, wenn fźr die Seiten gilt: .

2        Beweis mit Kosinussatz

Fźr den Beweis verwenden wir die Bezeichnungen der Figur.

Bezeichnungen

Aus dem Kosinussatz ergibt sich:

Fźr die alternierende Quadratsumme folgt daraus:

Daraus folgt die Behauptung.


3        Vektorieller Beweis

Wir verwenden die Seitenvektoren , , ,  gemŠ§ Figur. Ferner seien  und  die beiden Diagonalvektoren.

Vektoren

Nun drźcken wir die Vektoren , ,  und  durch die Vektoren ,  und  aus:

Fźr die Quadrate erhalten wir:

Somit ergibt sich fźr die alternierende Quadratsumme:

Daraus folgt die Behauptung.


4        Tetraeder

Der vektorielle Beweis ist nicht an die Ebene gebunden. Er gilt auch fźr vier Ecken im Raum, also fźr ein Tetraeder.

Tetraeder

Bei einem Tetraeder sind also zwei gegenźberliegende Kanten genau dann orthogonal, wenn die alternierende Quadratsumme der vier źbrigen Kanten verschwindet.

5        Briefumschlag

Bei einem Viereck mit orthogonalen Diagonalen lassen sich die Ecken auf den Diagonalenschnittpunkt einfalten, so dass ein ăBriefumschlagŇ entsteht (unter Weglassung der Klebefalze).

Briefumschlag