Hans Walser, [20101224a]
Orthogonale Tangenten an die Parabel
Zu einer gegebenen Parabel suchen wir die Punkte mit der Eigenschaft, dass sich die beiden Tangenten von diesem Punkt aus an die Parabel senkrecht schneiden.
Blickfang
Wir vermuten, dass die
Menge dieser Punkte eine Gerade ist, und zwar die Leitgerade der Parabel.
Wir beweisen
rechnerisch. Fźr die Parabel nehmen wir die Standardform . Die Leitgerade hat dann die Gleichung .
Die Parabeltangente im
Punkt hat die
Gleichung . Fźr den Schnittpunkt mit der
Leitgeraden erhalten wir:
Nun kehren wir den
Gesichtspunkt um und suchen zu gegebenem die beiden Werte
und , welche zu den Berźhrungspunkten der beiden von S ausgehenden Tangenten fźhren. Wir lšsen dazu die
Gleichung nach auf und erhalten:
Da die Tangenten die
Steigung haben, ergibt
sich als Produkt der beiden Tangentensteigungen:
Die beiden Tangenten
stehen also orthogonal. Damit ist auch die Vermutung bestŠtigt.