Hans Walser, [20101224a]

Orthogonale Tangenten an die Parabel

1        Worum geht es?

Zu einer gegebenen Parabel suchen wir die Punkte mit der Eigenschaft, dass sich die beiden Tangenten von diesem Punkt aus an die Parabel senkrecht schneiden.

Blickfang

Wir vermuten, dass die Menge dieser Punkte eine Gerade ist, und zwar die Leitgerade der Parabel.

2        Beweis

Wir beweisen rechnerisch. Fźr die Parabel nehmen wir die Standardform . Die Leitgerade hat dann die Gleichung .

Die Parabeltangente im Punkt  hat die Gleichung . Fźr den Schnittpunkt  mit der Leitgeraden erhalten wir:

Nun kehren wir den Gesichtspunkt um und suchen zu gegebenem  die beiden Werte  und , welche zu den Berźhrungspunkten der beiden von S ausgehenden Tangenten fźhren. Wir lšsen dazu die Gleichung  nach  auf und erhalten:

Da die Tangenten die Steigung  haben, ergibt sich als Produkt der beiden Tangentensteigungen:

Die beiden Tangenten stehen also orthogonal. Damit ist auch die Vermutung bestŠtigt.