Hans Walser, [20181219]

Orgelpfeifen

1     Worum geht es?

Abb. 1: Orgelprospekt

Die Abbildung 1 zeigt den Orgelprospekt der St.-Nikolai-Kirche Grźnlichtenberg (1866/67). In der Mittelachse und den beiden Au§enachsen sind die Pfeifen so angeordnet, dass in der Mitte die lŠngste Pfeife steht. In den Zwischenachsen sehen wir ein monotones Wachstum der PfeifenlŠngen.

Dies wirft folgendes Problem auf: Gegeben sei eine monoton wachsende Folge. Gesucht ist eine VerŠnderung der Reihenfolge derart, dass das grš§te Folgenglied mšglichst in die Mitte zu liegen kommt und es auf beiden Seiten abwŠrts geht.

2     Bearbeitung

Wir beginnen mit einer monoton wachsenden endlichen Folge:

 

                                                                                                 (1)

 

 

 

Gesucht ist eine VerŠnderung der Reihenfolge derart, dass  mšglichst in die Mitte zu  liegen kommt. Weiter soll das kleinste Folgenglied  links bleiben, das zweitkleinste Folgenglied  soll an die letzte Stelle zu liegen kommen, das drittkleinste Folgenglied  neu an zweiter Stelle links und so weiter. Diese Festlegung hat eine ParitŠtsunterscheidung  zur Folge: Bei einer ungeraden Anzahl von Folgengliedern ist dann das grš§te Folgenglied in der Mitte und das zweitgrš§te rechts davon. Bei einer geraden Anzahl von Folgengliedern gibt es kein mittleres Glied. In der Mitte stehen links das zweitgrš§te und rechts das grš§te Folgenglied.

2.1    Indextransformation

Wir bezeichnen mit j den Laufindex der Folge (1) und mit  den Index desjenigen Folgengliedes von (1), das nach der VerŠnderung der Reihenfolge an der Stelle j liegt.

Das Problem wird gelšst durch folgende VerŠnderung der Reihenfolge:

 

                                                                               (2)

 

 

 

Die Idee ist, das Maximum in die Mitte zu setzen und von daher auf beide Seiten hinunterzugehen.

2.2    Indexbeispiele

In der Tabelle 1 ist m = 3 und n = 9.

 

j

k

3

3

4

5

5

7

6

9

7

8

8

6

9

4

Tab. 1: Beispiel

Wir kšnnen natźrlich auch mit dem Index null beginnen (Tab. 2).

 

j

k

0

0

1

2

2

4

3

5

4

3

5

1

Tab. 2: Beispiel

Die Sache funktioniert auch mit negativen Indizes (Tab. 3).

 

j

k

–7

–7

–6

–5

–5

–3

–4

–1

–3

1

–2

0

–1

–2

0

–4

1

–6

Tab. 3: Beispiel

3     Lineares Wachstum

In der Abbildung 2 wird die Reihenfolge einer linearen Folge verŠndert.

Abb. 2: Lineares Wachstum

Bei der verŠnderten Reihenfolge ist die Symmetrie an der Spitze etwas gestšrt (Abb. 3).

Abb. 3: Gestšrte Symmetrie

Die geometrische Spitze liegt etwas rechts von der Mitte. Dies erklŠrt den merkwźrdigen Summanden  in (2).

Die eine Seite passt nach dem Spiegeln in die ZwischenrŠume der anderen Seite. Dies ist die sogenannte Rei§verschlusssymmetrie (Abb. 4).

Abb. 4: Rei§verschlusssymmetrie

4     Exponentielles Wachstum

Abb. 5: Exponentielles Wachstum

In der verŠnderten Reihenfolge ist die Spitze wiederum leicht rechts vom Maximum.

Abb. 6: Exponentialkurven

Die Abbildung 7 zeigt einen entsprechenden Orgelprospekt (Dom zu Salzburg). Allerdings nimmt hier auch der Durchmesser der Orgelpfeifen zu.

Abb. 7: Dom zu Salzburg

5     Sinusoidales Wachstum

Wir arbeiten mit der Folge (Abb. 8):

 

                                                                                 (3)

 

 

 

Man beachte, dass das erste Folgenglied den Wert null hat.

Abb. 8: Sinusoidale Folge

Die Umrisskurven sind Sinuskurven, ohne Spitze.

Abb. 9: Sinuskurven

Wir verŠndern jetzt die Folge scheinbar geringfźgig:

 

                                                                                 (4)

 

 

 

Im Staffelbild ist der Unterschied von Auge nicht wahrnehmbar (Abb. 10).

Abb. 10: Leicht geŠnderte Folge

Die Umrisskurve ist in der verŠnderten Reihenfolge nicht mehr eine durchgehende Sinuskurve, sondern hat eine Spitze nach unten (Abb. 11).

Abb. 11: Spitze nach unten

Websites

Hans Walser: Trigonometrische IdentitŠt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Trigo_Id/Trigo_Id.htm