Hans Walser, [20131014]
Normalaxonometrie im Raster
Es wird eine normalaxonometrische WŸrfeldarstellung im Quadratraster gesucht. Die Grundidee arbeitet mit dem pythagoreischen Dreieck mit den SeitenlŠngen 3, 4, 5, also dem klassischen Lehrerdreieck.
Abb. 1: Der WŸrfel
Die Darstellung ist exakt, benštigt aber viel Platz. Auf einem 4mm-Raster ist es auf einem DIN A4 Papier aber gerade noch zu machen.
Die Abbildung 2 zeigt die Situation im Kontext der Einheitskugel.
Abb. 2: Einheitskugel
Wir arbeiten wie in der Schule mit den Eulerschen Winkeln und . Die Abbildung 3 zeigt die Situation im Kontext der Einheitskugel in Auf- und Kreuzriss, das hei§t von vorne und von der Seite. Die Beschriftungen sind problemangepasst und weichen von den in der darstellenden Geometrie Ÿblichen geringfŸgig ab.
Abb. 3: Auf- und Kreuzriss
Wir wŠhlen nun als den kleineren der beiden spitzen Winkel im Lehrerdreieck mit den Seiten 3, 4, 5 und als den grš§eren (Abb. 4).
Abb. 4: Winkel im Lehrerdreieck
Es ist dann
FŸr die Einheitsvektoren erhalten wir im in der Abbildung 3 angegebenen kartesischen -Koordinatensystem:
Es lŠsst sich alles auf den gemeinsamen Nenner 25 bringen. Entsprechend kšnnen wir mit einem FŸnfundzwanzigstel-Raster arbeiten.
FŸr den zeichnerisch relevanten Aufriss erhalten wir:
Damit ergibt sich die Rasterlšsung der Abbildung 5.
Abb. 5: Rasterkoordinaten
Die durch die Projektion weggelassenen dritten Komponenten der Einheitsvektoren liefern die kurzen Halbachsen der in der Abbildung 2 eingezeichneten Ellipsen (Meridiane fŸr 90¡E und 0¡ sowie €quator).
Wenn wir in den Einheitsvektoren die mittleren Komponenten ausblenden, liefern die restlichen eine zweite Rasterlšsung (Abb. 6).
Abb. 6: Zweite Lšsung
Durch Ausblenden der ersten Komponenten in den Einheitsvektoren erhalten wir eine dritte, etwas spezielle Rasterlšsung (Abb. 7). Wir erkennen mehrfach das Lehrerdreieck.
Abb. 7: Dritte Lšsung
Das hŠtte man auch einfacher haben kšnnen (Abb. 8).
Abb. 8: Einfachere Lšsung
Die Spaltenvektoren der Matrix
haben die LŠnge 1 und sind paarweise orthogonal. Wenn nun und Winkel von pythagoreischen Dreiecken (allenfalls auch zwei verschiedenen pythagoreischen Dreiecken) sind, werden alle MatrixeintrŠge rational. Durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner und geeignete Projektion (Weglassen einer Zeile der Matrix) ergibt sich eine Rasterlšsung.