Hans Walser, [20151218]

MŸhlespiel

1     Das Problem

24 ganze Zahlen, welche eine arithmetische Folge bilden, sollen so in die Felder eines MŸhlespiels (Abb. 1) gesetzt werden, dass sich bei jeder MŸhle (drei durch eine gerade Linie verbundene Felder) dieselbe Summe s ergibt.

 

Abb. 1: MŸhlespiel

 

2     Die Unlšsung

Das Problem ist unlšsbar.

3     Bearbeitung

Die 24 Zahlen sind von der Form

 

                                                                         (1)

 

ZunŠchst kann die additive Konstante a weggelassen werden, da sie keinen Einfluss auf die Lšsbarkeit des Problems hat.

Wenn es nun eine Lšsung gibt, sind alle Zahlen Vielfache von b. Wir kšnnen also die Zahlen durch b dividieren. Daraus folgt: Wenn es eine Lšsung gibt, gibt es auch eine Lšsung mit

 

                                                                                                 (2)

 

Nun ist (man beachte den Unterschied zwischen s und S):

 

                                                                                                                (3)

 

 

Wir haben insgesamt 16 MŸhlen. Jede Zahl  kommt in genau zwei MŸhlen vor. Somit ist:

 

                                                                                                       (4)

 

Andrerseits muss s eine ganze Zahl sein. Widerspruch zu (4). Es gibt keine Lšsung.

4     Variationen

Wir diskutieren einige Varianten zum Spielfeld der Abbildung 1. Wir werden sehen, dass sich fŸr keine dieser Varianten das Zahlenproblem lšsen lŠsst.

4.1    Beispiele

Die Abbildung 2 zeigt ein Beispiel mit ãeinteiligerÒ Drehsymmetrie (also ohne Drehsymmetrie).

 

Abb. 2: Einteilige Drehsymmetrie

 

Im Beispiel der Abbildung 3 haben wir eine Punktsymmetrie.

 

Abb. 3: Punktsymmetrie

 

Im Beispiel der Abbildung 4 haben wir eine dreiteilige Drehsymmetrie  und im Beispiel der Abbildung 5 eine fŸnfteilige Drehsymmetrie.

 

Abb. 4: Dreiteilige Drehsymmetrie

 

Abb. 5: FŸnfteilige Drehsymmetrie

 

4.2    Unlšsbarkeit

FŸr den Fall einer k-teiligen Drehsymmetrie haben wir:

 

                                                                                   (5)

 

Wir haben 4k MŸhlen. Somit ist:

 

                                                                                                 (6)

 

 

Die MŸhlensumme s ist also immer echt halbzahlig. Widerspruch.