Hans Walser, [20180201]

Mehrfarbige Packungen

1   Worum geht es?

Die gŠngigen rŠumlichen Packungen werden bezŸglich der Minimalzahl der benštigten Farben untersucht. Wenn zwei FŸller-Elemente eine FlŠche gemeinsam haben, verwenden wir zwei verschiedene Farben. Hingegen dŸrfen zwei FŸller-Elemente mit gemeinsamer Kante oder gemeinsamer Ecke dieselbe Farbe haben.

2   Kubische Packungen

Es handelt sich um das dreidimensionale ãSchachbrettÒ. Wir benštigen lediglich zwei Farben.

2.1  Mit WŸrfeln

WŸrfel mit gemeinsamer SeitenflŠche haben ungleiche Farben. Jeder WŸrfel berŸhrt sechs konterfarbige WŸrfel mit einer SeitenflŠche. WŸrfel mit gemeinsamer Kante haben gleiche Farben. WŸrfel mit gemeinsamer Ecke haben unterschiedliche Farben.

Die Abbildung 1 zeigt die Anordnung in einem gro§en WŸrfel.

Abb. 1: RŠumliches Schachbrett

Die Abbildung 2 zeigt die Anordnung in einer Pyramide. Die SeitenflŠchen der Pyramide haben gegenŸber der GrundflŠche einen Neigungswinkel 45¡.

Abb. 2: Als Pyramide

2.2  Mit Kugeln

Die Kugeln sind natŸrlich keine RaumfŸller. Sie lassen ZwischenrŠume offen. Sich berŸhrende Kugeln haben ungleiche Farben.  Jede Kugel berŸhrt sechs konterfarbige Kugeln.

Abb. 3: WŸrfelfšrmige Anordnung

Abb. 4: Kugelpyramide

3   Kubisch raumzentrierte Packung

3.1  Abgestumpftes Oktaeder oder abgestumpfter WŸrfel

Die Abbildung 5 zeigt ein abgestumpftes Oktaeder. Es entsteht durch Abschleifen der sechs Spitzen des Oktaeders (magenta in Abb. 5), bis die gleichseitigen Dreiecke zu regelmŠ§igen Sechsecken (zyan in Abb. 5) geworden sind.

Abb. 5: Abgestumpftes Oktaeder

Dieselbe Figur entsteht, indem zunŠchst ein WŸrfel durch die Mittelnormalebene halbiert wird (Abb. 6) und dann acht solche halbe WŸrfel RŸcken an RŸcken zusammengeklebt werden. Wir kšnnen also auch von einem abgestumpften WŸrfel reden.

Abb. 6: Halber WŸrfel

Diese aus sechs Quadraten und acht regelmŠ§igen Sechsecken bestehenden halbregulŠren Figuren sind ebenfalls RaumfŸller (Abb. 7). Es ergibt sich eine kubisch raumzentrierte Packung. Wir benštigen vier Farben. Die Farben rot und grŸn bilden ein kubisches Gitter wie beim rŠumlichen Schachbrett, ebenso die Farben blau und gelb. Wir haben sozusagen zwei ineinandergemurkste rŠumliche Schachbretter.

Abb. 7: Kubisch raumzentriert

Es geht auch mit einer Pyramide (Abb. 8). Die SeitenflŠchen der Pyramide haben gegenŸber der GrundflŠche immer noch einen Neigungswinkel 45¡. Das scheint auf den ersten Blick nicht zu stimmen, denn wir zŠhlen sowohl auf der Bodenkante wie auf einer SchrŠgkante acht abgestumpfte Oktaeder und kšnnten in Versuchung geraten, die Seitendreiecke als gleichseitig anzusehen. Das ergŠbe gegenŸber den Grundebene einen Neigungswinkel . Die FehlŸberlegung liegt in Folgendem. In der Grundkante sto§en die Einheiten in den Quadraten zusammen, in einer SchrŠgkante in regelmŠ§igen Sechsecken. Die Durchmesser der abgestumpften Oktaeder zwischen zwei gegenŸberliegenden Quadraten und zwei gegenŸberliegenden Sechsecken verhalten sich wie . Das hei§t insbesondere, dass eine Kugel, welche die acht Sechseckmitten berŸhrt, die sechs Quadratseiten nicht erreicht. Es gibt keine Inkugel, welche alle 14 Seiten berŸhrt. Das hat zur Folge, dass es mit Kugeln einfacher geht.

Abb. 8: Pyramide

3.2  Mit Kugeln

Bei der entsprechenden Anordnung mit Kugeln benštigen wir nur zwei Farben (Abb. 9). Wir kšnnen die Farben schichtenweise abwechseln. Aber wir haben jetzt natŸrlich keinen RaumfŸller.

 

Abb. 9: Bei Kugeln genŸgen zwei Farben

Kugeln gleicher Farbe berŸhren sich nicht, wie eine Detailsicht von der Seite lehrt (Abb. 10).

Abb. 10: Kugeln gleicher Farben berŸhren sich nicht

Das gilt natŸrlich auch fŸr die Pyramide (Abb. 11).

Abb. 11: Kugelpyramide mit zwei Farben

3.3  Mit Kreuzen

Wir arbeiten mit einem Kreuz der Abbildung 12. Das Kreuz besteht aus einem zentralen WŸrfel, dem halb so hohe Quader aufgesetzt sind.

Abb.12: Es is halt a Kreiz. A Kreiz is!

Damit haben wir einen nicht konvexen RaumfŸller (Abb. 13). Wir benštigen vier Farben.

Abb. 13: Anordnung in einem gro§en WŸrfel

Abb. 14: Pyramide mit Kreuzen

3.4  Mit gelochten WŸrfeln

Wir arbeiten mit einer Figur gemŠ§ Abbildung 15. Es handelt sich hier um die ErgŠnzungsfigur des Kreuzes der Abbildung 12 zum UmwŸrfel, also zum kleinsten WŸrfel, in welchem das Kreuz Platz findet.

Das Kreuz und seine ErgŠnzung haben dasselbe Volumen.

Die Figur ist mehrfach zusammenhŠngend und entspricht topologisch einer Tasse mit fŸnf Henkeln.

Abb. 15: Gelochter WŸrfel

Trotzdem handelt es sich um einen RaumfŸller (Abb. 16). Er ist kubisch raumzentriert. Wir brauchen vier Farben. Die Teile sind ineinander verhŠngt. Am Rand der dargestellten Figur ist der Raum natŸrlich nicht vollstŠndig gefŸllt, aber im Innern schon.

Jedes Einzelteil ist mit acht Nachbarteilen verkettet.

Abb. 16: RaumfŸllung

Die Abbildung 17 zeigt die Pyramide. Ich gestehe, dass ich diese Studie nur geschrieben habe, um diese Figur vorstellen zu kšnnen.

Abb. 17: Pyramide

3.5  Mit gelochten WŸrfeln. Variante

Wir kšnnen analog mit der ErgŠnzung des abgestumpften Oktaeders (Abb. 5) zum umgebenden WŸrfel arbeiten (Abb. 18).

Abb. 18: ErgŠnzung des abgestumpften Oktaeders zum WŸrfel

Am besten stellt man sich acht Elemente der Abbildung 6 an den magenta Dreiecken zu einem WŸrfel zusammengeklebt vor. Die Topologie ist dieselbe wie beim gelochten WŸrfel der Abbildung 15.

Die Abbildung 19 zeigt die Packung. Sie ist immer noch kubisch raumzentriert. Wir brauchen vier Farben.

Am Rand haben wir wiederum HohlrŠume, im Innern nicht.

Abb.19: Packung

Die Abbildung 20 zeigt die Pyramide.

Abb. 20: Pyramide

Die bisherigen RaumfŸller haben alle die Symmetrien von WŸrfel / Oktaeder. Das muss nicht so sein.

3.6  RaumfŸller mit Tetraeder-Symmetrie

Wir arbeiten mit dem RaumfŸller der Abbildung 21. Er hat nur noch die Symmetrien des Tetraeders,

Abb. 21: RaumfŸller

Die Abbildung 22 zeigt die Ÿbliche Packung. Sie ist kubisch raumzentriert.

Abb. 22: Packung

Die Abbildung 23 zeigt zwei rote und zwei grŸne FŸller-Elemente in derselben Etage. Wir sehen, dass sie sich alle diese FŸller-Elemente nur lŠngs Kanten berŸhren. Wir dŸrfen dafŸr also die gleiche Farbe verwenden.

Abb. 23: Vier benachbarte FŸller-Elemente

FŸr die Packung kommen wir daher mit nur zwei Farben durch (Abb. 24).

Abb. 24: Zwei Farben genŸgen

Die Abbildung 25 zeigt die entsprechende Pyramide.

Abb. 25: Pyramide

4   Kubisch flŠchenzentrierte Packungen

4.1  Rhombendodekaeder

Wenn wir auf allen sechs Seiten eines WŸrfels eine Pyramide mit Neigungswinkel 45¡ gegenŸber der GrundflŠche aufsetzten, entsteht ein Rhombendodekaeder (Abb. 26). Dies darum, weil die SeitenflŠchen benachbarter Pyramiden glatt ineinander Ÿbergehen. Wir erhalten damit zwšlf Rhomben als SeitenflŠchen, daher der Name

Abb. 26: Rhombendodekaeder

Das Rhombendodekaeder ist ein RaumfŸller. Es ergibt sich eine kubisch flŠchenzentrierte Packung. Wir benštigen vier Farben.

Die Abbildung 27 zeigt die unterste Schicht mit den roten und den grŸnen Rhombendodekaedern.

Abb. 27: Unterste Schicht

Die Abbildung 28 zeigt die Situation von oben.

Abb. 28: Situation von oben

Die Abbildung 29 zeigt die unterste und die zweitunterste Schicht.

Abb. 29: Die beiden untersten Schichten

Die Abbildung 30 zeigt wiederum die Situation von oben.

Abb. 30: Situation von oben

Jetzt kšnnen wir eine Kopie der untersten Schicht drauflegen und so weiter.

Die Abbildung 31 zeigt die volle Packung.

Abb. 31: Packung

4.2  Mit Kugeln

Mit den Inkugeln der Rhombendodekaeder kšnnen wir eine Kugelpackung bauen. Es handelt sich dabei um die dichtest mšgliche Packung.

Die Abbildungen 32 und 33 zeigen die beiden untersten Schichten.

Abb. 32: Unterste Schicht

Abb. 33: Die unterste und die zweitunterste Schicht

Die Zentren der roten, grŸnen, blauen und gelben Kugel links oben in der Abbildung 33 bilden ein regulŠres Tetraeder.

Die Abbildung 34 zeigt die Packung.

Abb. 34: Dichteste Kugelpackung

Wir wŠhlen in der Abbildung 34 vorne-unten-mitte acht grŸne Kugeln aus (zwei davon sind im Inneren) welche die Ecken eines WŸrfels bilden (Abb. 35).

Abb. 35: Minimalauswahl

In den SeitenflŠchenmitten des Bodens und des Deckels dieses WŸrfels sitzt je eine rote Kugel. In den Stein links und rechts sitzt je eine blaue Kugel, und in der FrontflŠche und der HinterflŠche je eine gelbe Kugel. Dies illustriert die Bezeichnung kubisch flŠchenzentriert.