Hans Walser, [20171023]

Magische Quadrate źberlagern

1     Worum geht es?

Es werden magische Quadrate verschiedener ungerader SeitenlŠngen źberlagert. Vorgehen exemplarisch mit den SeitenlŠnge 3 und 5.

2     Fźnf mal drei

2.1    SeitenlŠnge 3

Die Abbildung 1 zeigt ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge 3. Die Zahlen laufen von 0 bis 8. Das magische Quadrat wurde nach dem in [1] geschilderten Verfahren hergestellt.

 

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Abb. 1: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 3

Die Abbildung 2 zeigt das zugehšrige Histogramm. Es ist mit dem Faktor  unterhšht gezeichnet.

Abb. 2: Histogramm

Die Abbildung 3 zeigt dieses magische Quadrat in 25 Exemplaren extended. Es handelt sich natźrlich immer noch um ein magisches Quadrat. Die Zahlen laufen mehrfach von 0 bis 8.

 

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Abb. 3: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 15

Die Abbildung 4 zeigt das zugehšrige Histogramm.

Abb. 4: Niedlich

2.2    SeitenlŠnge 5

Die Abbildung 5 zeigt ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge 5. Die Zahlen laufen von 0 bis 24. Das magische Quadrat wurde nach dem in [1] geschilderten Verfahren hergestellt.

 

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Abb. 5: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 5

Die Abbildung 6 zeigt das zugehšrige Histogramm.

Abb. 6: Histogramm

Die Abbildung 7 zeigt 25 Felder der SeitenlŠnge 3, in denen sich lauter gleiche Zahlen befinden. Diese sind das 9-fache der Zahlen in entsprechender Lage in der Abbildung 5.

 

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Abbildung 7: Aufgeblasene Abbildung 5

Die Abbildung 8 zeigt das zugehšrige Histogramm. Wir sehen Plateaus.

Abb. 8: Histogramm

2.3    †berlagerung

Nun setzen wir auf jedes der 25 Felder mit gleichen Zahlen das magische Quadrat der Abbildung 1 auf. Anders gesagt: wir addieren die magischen Quadrate der Abbildungen 3 und 7. Dies gibt das magische Quadrat der Abbildung 9.

 

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Abb. 9: Magisches Quadrat

Die Abbildung 10 zeigt das zugehšrige Histogramm. Es ist die †berlagerung der beiden Histogramme der Abbildungen 4 und 8.

Abb. 10: Histogramm

2.4    Symmetrien

Im magischen Quadrat der Abbildung 9 kšnnen Symmetrien sichtbar gemacht werden. In der Abbildung 11 sind alle geraden Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 11: Gerade Zahlen

In der Abbildung 12 sind alle durch drei teilbare Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 12: Vielfache von 3

In der Abbildung 13 sind die Vielfachen von 9 gelb unterlegt.

Abb. 13: Vielfache von 9

Wenn wir die gelb unterlegten Zahlen herausgreifen und durch 9 dividieren, erhalten wir das magische Quadrat der Abbildung 5.

3     Drei mal fźnf

3.1    Das magische Quadrat

Wir vertauschen gegenźber dem vorhergehenden Abschnitt die Rollen der beiden Zahlen drei und fźnf. Dies fźhrt zum magischen Quadrat der Abbildung 14.

 

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Abb. 14: Magisches Quadrat

Die Abbildung 15 zeigt das zugehšrige Histogramm.

Abb. 15: Histogramm

3.2    Symmetrien

In der Abbildung 16 sind alle geraden Zahlen des magischen Quadrates der Abbildung 14 gelb unterlegt. Die Anordnungen unterscheiden sich gegenźber der Abbildung 11.

Abb. 16: Gerade Zahlen

In der Abbildung 17 sind alle durch drei teilbaren Zahlen gelb unterlegt. Wir erkennen ein Parkett. Die Anordnungen unterscheiden sich gegenźber der Abbildung 12.

Abb. 17: Durch drei teilbare Zahlen

In der Abbildung 18 sind alle durch 25 teilbaren Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 18: Durch 25 teilbare Zahlen

Wenn wir diese Zahlen herausgreifen und durch 25 dividieren, erhalten wir das magische Quadrat der Abbildung 1.

3.3    Unterschiede

Die beiden magischen Quadrate der Abbildungen 9 und 14 unterscheiden sich. Unser Konstruktionsverfahren ist nicht kommutativ. Die Abbildung 19 zeigt das Differenzenquadrat.

 

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Abb. 19: Differenzenquadrat

Das Differenzenquadrat ist antipunktsymmetrisch. Punktsymmetrisch zum Zentrum gelegene Zahlen sind entgegengesetzt gleich.

4     Direkte Konstruktion eines magischen Quadrates

4.1    Das magische Quadrat

Die Abbildung 20 zeigt ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge 15, das direkt nach dem in [1] geschilderten Verfahren hergestellt wurde.

 

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44

45

61

77

93

109

125

127

143

159

175

191

207

223

14

15

31

47

63

79

95

111

Abb. 20: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 15

Es unterscheidet sich von den magischen Quadraten der Abbildungen 9 und 14.

4.2    Histogramm

Die Abbildung 21 zeigt das zugehšrige Histogramm.

Abb. 21: Histogramm

Die Abbildung 22 zeigt eine andere Sicht auf dasselbe Histogramm.

Abb. 22: Wo Berge sich erheben

4.3    Symmetrien

Die Symmetrien sind nochmals anders.

In der Abbildung 23 sind die geraden Zahlen des magischen Quadrates der Abbildung 20 gelb unterlegt.

Abb. 23: Gerade Zahlen

In der Abbildung 24 sind die durch drei teilbaren Zahlen gelb unterlegt. Dieses Muster hatten wir schon in der Abbildung 12.

Abb. 24: Durch drei teilbare Zahlen

In der Abbildung 24 sind die durch sieben teilbaren Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 25: Durch sieben teilbare Zahlen

Websites

[1] Hans Walser: Magische Quadrate ungerader SeitenlŠnge (23.10.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate/Mag_Quadrate.htm

 

[2] Hans Walser: Magische Quadrate quadrieren (23.10.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate2/Mag_Quadrate2.htm