Hans Walser, [20171021]
Magische Quadrate quadrieren
Wir arbeiten mit magischen Quadraten ungerader SeitenlŠnge. Durch Vergrš§erung und †berlagerung erhalten wir neue magische Quadrate.
Wir arbeiten exemplarisch mit einem magischen Quadrat der SeitenlŠnge 3.
Die Abbildung 1 zeigt ein magisches Quadrat der SeitenlŠnge 3. Es wurde nach dem in [1] beschriebenen Verfahren generiert. Die Zahlen laufen von 0 bis 8.
5 |
6 |
1 |
0 |
4 |
8 |
7 |
2 |
3 |
Abb. 1: Magisches Quadrat der SeitenlŠnge 3
Die Abbildung 2 zeigt das zugehšrige Histogramm. Das Histogramm ist mit dem Faktor unterhšht gezeichnet.
Abb. 2: Histogramm
Wir vergrš§ern das magische Quadrat der Abbildung 1 mit dem FlŠchenfaktor 32 = 9 und multiplizieren auch die Zahlen mit diesem Faktor (Abb. 3).
45 |
45 |
45 |
54 |
54 |
54 |
9 |
9 |
9 |
45 |
45 |
45 |
54 |
54 |
54 |
9 |
9 |
9 |
45 |
45 |
45 |
54 |
54 |
54 |
9 |
9 |
9 |
0 |
0 |
0 |
36 |
36 |
36 |
72 |
72 |
72 |
0 |
0 |
0 |
36 |
36 |
36 |
72 |
72 |
72 |
0 |
0 |
0 |
36 |
36 |
36 |
72 |
72 |
72 |
63 |
63 |
63 |
18 |
18 |
18 |
27 |
27 |
27 |
63 |
63 |
63 |
18 |
18 |
18 |
27 |
27 |
27 |
63 |
63 |
63 |
18 |
18 |
18 |
27 |
27 |
27 |
Abb. 3: Gestreckte Situation
Im Histogramm sehen wir Plateaus (Abb. 4).
Abb. 4: Histogramm
Auf jedes Plateau setzen wir ein Histogramm der Abbildung 2. So ergibt sich die Figur der Abbildung 5.
Abb. 5: †berlagerung
Die zugehšrige Tabelle ist ein magisches Quadrat (Abb. 6). Die Zahlen laufen durch von 0 bis 80.
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 6: Magisches Quadrat
Im Folgenden einige Eigenschaften dieses magischen Quadrates
Jedes Neuntelquadrat ist wiederum ein magisches Quadrat, wobei jedes mal ein anderes Intervall der natźrlichen Zahlen durchlaufen wird.
Schwarz: 0 bis 8
Blau: 9 bis 17
Grźn: 18 bis 26
Zyan: 27 bis 35
Rot: 36 bis 44
Magenta: 45 bis 53
Gelb: 54 bis 62
Wei§: 63 bis 71
Violett: 72 bis 80
Diese Eigenschaft ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktion des magischen Quadrates.
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 7: Magische Unterquadrate
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 8: Zweier-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 9: Dreier-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 10: Vierer-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 11: Fźnfer-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 12: Sechser-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 13: Siebner-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 14: Achter-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 15: Neuner-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 16: Zehner-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 17: Elfer-Reihe
50 |
51 |
46 |
59 |
60 |
55 |
14 |
15 |
10 |
45 |
49 |
53 |
54 |
58 |
62 |
9 |
13 |
17 |
52 |
47 |
48 |
61 |
56 |
57 |
16 |
11 |
12 |
5 |
6 |
1 |
41 |
42 |
37 |
77 |
78 |
73 |
0 |
4 |
8 |
36 |
40 |
44 |
72 |
76 |
80 |
7 |
2 |
3 |
43 |
38 |
39 |
79 |
74 |
75 |
68 |
69 |
64 |
23 |
24 |
19 |
32 |
33 |
28 |
63 |
67 |
71 |
18 |
22 |
26 |
27 |
31 |
35 |
70 |
65 |
66 |
25 |
20 |
21 |
34 |
29 |
30 |
Abb. 18: Zwšlfer-Reihe
Die Abbildung 19 zeigt das magische Quadrat der SeitenlŠnge 9, das sich direkt nach dem Verfahren in [1] ergibt. Es hat zwar gewisse †bereinstimmungen mit dem magischen Quadrat der Abbildung 6, ist aber doch deutlich verschieden.
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 19: Magisches Quadrat
Die Abbildung 8 zeigt das zugehšrige Histogramm.
Abb. 8: Histogramm
Auch die Anordnung der Zweier-, Dreier-, ... , Zahlen ist unterschiedlich.
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 20: Gerade Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 21: Dreier-Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 22: Vierer-Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 23: Fźnfer-Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 24: Sechser-Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 25: Achter-Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 26: Neuner-Zahlen
41 |
51 |
61 |
71 |
72 |
1 |
11 |
21 |
31 |
33 |
43 |
53 |
54 |
64 |
74 |
3 |
13 |
23 |
25 |
35 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
5 |
15 |
17 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
7 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
73 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
63 |
65 |
75 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
45 |
55 |
57 |
67 |
77 |
6 |
16 |
26 |
27 |
37 |
47 |
49 |
59 |
69 |
79 |
8 |
9 |
19 |
29 |
39 |
Abb. 27: Zehner-Zahlen
Websites
[1] Hans Walser: Magische Quadrate ungerader SeitenlŠnge (21.10.2017):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate/Mag_Quadrate.htm